$A+3I$ no es singular

Question

Si $A^2=A+2I$ demuestre que $A+3I$ es no singular. Si $p$ es un polinomio que aniquila a A, ¿cómo se calcula el polinomio mínimo de A y $p$ ¿Relacionar?

¿Puede alguien ayudarme con esto? No estoy muy familiarizado con el polinomio aniquilante.

Answer 1

Desde $A^2 - A - 2I = 0$ tenemos que el polinomio $x^2 - x - 2 =(x+1)(x-2)$ aniquila $A$ .

Por lo tanto, el polinomio mínimo de $A$ divide $(x+1)(x-2)$ por lo que las únicas opciones son $x+1$ , $x-2$ y $(x+1)(x-2)$ .

Las raíces del polinomio mínimo son los valores propios de $A$ por lo que concluimos $\sigma(A) \subseteq \{-1, 2\}$ .

$A+3I$ es singular si y sólo si $0 \in \sigma(A+3I) = \sigma(A) + 3 \subseteq \{2, 5\}$ lo cual no puede ser cierto.

Answer 2

Sugerencia: si $p(A) = 0$ donde $p$ es un polinomio, todos los valores propios de $A$ son raíces de $p$ .

Answer 3

Busquemos la inversa de $A+3I$ de la forma $aA+bI$ : $$ I = (A+3I)(aA+bI)=aA^2+(3a+b)A+3bI=(4a+b)A+(2a+3b)I $$ Resolver $4a+b=0, 2a+3b=1$ da $a = -1/10, b = 4/10$ y así $$ (A+3I)^{-1} = \frac{1}{10}(-A+4I) $$

Answer 4

Si $A$ es una matriz cuadrada de tamaño $n$ sobre un campo $F$ y $\mu \in F$ es un valor propio de $A$ de modo que existe un vector $0 \ne \vec v \in F^n$ con

$A \vec v = \mu \vec v, \tag 1$

entonces

$A^2 \vec v = A(A \vec v) = A(\mu \vec v) = \mu A \vec v = \mu \mu \vec v = \mu^2 \vec v; \tag 2$

de forma similar,

$A^3 \vec v = A(A^2 \vec v) = A(\mu^2 \vec v) = \mu^2 A \vec v = \mu^2 \mu \vec v = \mu^3 \vec v; \tag 3$

a la luz de (1)-(3), cabe suponer que

$A^k \vec v = \mu^k \vec v, \; 0 \le k \in \Bbb Z; \tag{4}$

podemos validar tal suposición observando que (4) implica

$A^{k + 1} \vec v = A(A^k \vec v) = A(\mu^k \vec v) = \mu^k(A \vec v) = \mu^k \mu \vec v = \mu^{k + 1} \vec v; \tag 5$

vemos que (1)-(5) forman, en esencia, una demostración inductiva de que (4) es vinculante; también vemos en (4) que, para $a \in F$ ,

$aA^k \vec v = a\mu^k \vec v; \tag 6$

por lo tanto, si

$p(x) = \displaystyle \sum_0^{\deg p} p_i x^i \in F[x], \tag 7$

entonces

$p(A)\vec v = \displaystyle \left (\sum_0^{\deg p} p_i A^i \right ) \vec v = \sum_0^{\deg p} p_i A^i \vec v = \sum_0^{\deg p} p_i \mu^i \vec v = \left (\sum_0^{\deg p} p_i \mu^i \right) \vec v = p(\mu) \vec v; \tag 8$

se deduce entonces que si (1) se cumple, entonces $p(\mu)$ es un valor propio de $p(A)$ también con eigenvetor $\vec v$ Así pues

$p(A) = 0 \Longrightarrow p(\mu) = 0, \; \text{where} \; A\vec v = \mu \vec v; \tag 9$

Aplicamos el principio expuesto en (1)-(9) al presente caso con

$A^2 = A + 2I, \tag{10}$

ou

$A^2 - A - 2I = 0; \tag{11}$

ahora los valores propios de $A$ debe cumplir

$x^2 - x - 2 = 0, \tag{12}$

cuyas raíces son $-1$ y $2$ Así pues $\mu \in \{-1, 2 \}$ y no hay otras posibilidades. Ahora dejemos que

$q(x) = x + 3 \in F[x]; \tag{13}$

se deduce además de lo que hemos hecho anteriormente que los valores propios de

$q(A) = A + 3I \tag{14}$

debe ser de la forma $q(\mu) = \mu + 3$ por lo que deben estar en el conjunto

$\{ 2 = -1 + 3, 5 = 2 + 3 \}; \tag{15}$

desde

$0 \notin \{ 2, 5 \}, \tag{16}$

es decir, $0$ no es un valor propio de $A + 3I$ se deduce que esta matriz es no singular.

En general, si

$p(x) \in F[x] \tag{17}$

aniquila una matriz $A$ al igual que $x^2 -x - 2$ en el presente ejemplo, es decir, si

$p(A) = 0, \tag{18}$

entonces el polinomio mínimo

$m_A(x) \in F[x] \tag{19}$

de $A$ debe dividir $p(x)$ :

$m_A(x) \mid p(x); \tag{20}$

esto se deduce fácilmente del algoritmo de división de polinomios, que afirma que

$p(x) = q(x)m_A(x) + r(x), \; q(x), r(x) \in F[x], \tag{21}$

donde

$r(x) = 0 \; \text{or} \; 0 \le \deg r(x) < \deg m_a(x); \tag{22}$

de hecho, si $r(x) \ne 0$ entonces

$r(A) = p(A) - q(A) m_A(A) = 0, \tag{23}$

contradice la minimalidad de $m_A(x)$ por lo que debemos tener $r(x) = 0$ y

$p(x) = q(x) m_A(x), \tag{24}$

y así (20) se une.

Para resumir lo que acabamos de hacer El polinomio mínimo $m_A(x)$ de cualquier matriz $A$ divide cualquier $p(x) \in F[x]$ que aniquila $A$ Eso es, $p(A) = 0$ .

Answer 5

Si $A^2-A-2I=0$ entonces los posibles valores propios de $A$ son $-1$ y $2$ . En efecto, si $Av=\lambda v$ con $v\ne0$ entonces $$ (\lambda^2-\lambda-2)v=0 $$ por cálculo directo. Dado que $-3$ no es un valor propio, podemos concluir que $A+3I$ es no singular.

Si $p$ es un polinomio que aniquila a $A$ y $m$ es el polinomio mínimo, entonces $p(x)=m(x)q(x)$ . Esto se debe a que $m(x)$ es, por definición, el polinomio mónico de menor grado posible que aniquila a $A$ .

Si $I$ es el conjunto de polinomios que aniquilan a $A$ entonces $I$ es un ideal de $F[x]$ (donde $F$ es el campo base). El elemento mónico de menor grado en $I$ puede caracterizarse como el único generador mónico de $I$ que es un ideal principal por hechos bien conocidos sobre el anillo de polinomios sobre un campo. (Aquí asumo que la matriz $A$ no es la matriz cero).