Si $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ $d_p\omega = 0$ algunos $p \in M$.

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto, orientado, suave colector de dimensión $n$.

Tengo que mostrar que si $ \omega \in \Omega^{n-1}(M)$ $d_p\omega = 0$ algunos $p \in M$.

Mi primer intento fue el de utilizar la siguiente proposición:

"Si $M$ es una orientada lisa colector y $\omega \in \Omega_c^{n-1}(M)$ $$ \int_M d\omega = 0,$$ where $\Omega_c^p(M)$ are the p-forms on $M$ con soporte compacto."

Si $\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ ha compacto de apoyo es suficiente para aplicar la propuesta y tomar un gráfico de $(U,h)$, de modo que $supp(\omega) \subset U$, luego $$ 0 = \int_M d\omega = \int_{h(U)} (h^{-1})^* d\omega, $$ so exists $p \in h(U)$ so that $((h^{-1})^*d\omega)_p = 0$, and it implies that $d_p\omega = 0$ because $(h^{-1})^*$ es un isomorfismo.

Es esto una prueba? ¿Cómo puedo generalizar para el caso general?

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

La prueba de que funciona, de hecho, si el apoyo de $\omega$ está contenida en una coordenada de barrio (compact apoyo no implica esto). La idea para el caso general es básicamente el mismo: si la integral de una función continua conectado a un conjunto abierto es $0$, luego de que la función tiene un cero.

Cuando no se vecindario, podemos intentar tapar $M$ por coordinar los vecindarios $U_i$. Hay algunos problemas: el $U_i$ se pueden solapar. Pero bueno, nosotros probablemente puede trabajar alrededor de esto tomando ellos la desunión y la no integración de más de una medida $0$ (los límites de la $U_i$). Pero el problema aún no resuelto: si la suma de las integrales de $d\omega$ más desunido $U_1$$U_2$$0$, no implica que $d\omega$ $0$ en algún punto de $U_1 \cup U_2$: lo que podría suceder es que el $d\omega$ es estrictamente negativo en una coordenada barrio y estrictamente positivo en el otro. De hecho, es el único problema que podría ocurrir! (El signo de una forma diferenciada $\alpha$ en un gráfico de $(U, \phi)$ medio, el signo de la función $g$ tal que $\phi_*\alpha = g dx_1 \cdots dx_n$.)

La clave está en que $M$ es orientado: existe una cubierta por los gráficos de $(U_i, \phi_i)$ tal que $\det(D(\phi_i\phi_j^{-1}))>0$. Ahora supongamos $d\omega$ nada $0$. Entonces (suponiendo $M$ está conectado) cada una de las $\phi_*d\omega$ tiene el mismo signo, wlog son de la forma $f_i dx_1 \cdots dx_n$ con cada una de las $f_i > 0$. Ahora reemplace el $U_i$ menor $V_i$ (no necesitan ser abierto), de modo que obtenemos un separe la cubierta de $M$. Entonces: $$\int_M d\omega =\sum _i\int_{\phi_i(V_i)}\phi_*d\omega >0$$ es una contradicción!

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Más detalles sobre cómo elegir el $V_i$: tomar un número finito de la cubierta de coordinar los vecindarios $U_1, \ldots, U_n$, y deje $V_i =U_i \setminus\bigcup_{j<i} U_j$. A continuación, $M$ es distinto de la unión de la $V_i$, $\phi_i(V_i)$ son conjuntos de Borel de $\mathbb R^n$, y la igualdad de $$\int_M d\omega =\sum _i\int_{\phi_i(V_i)}\phi_*d\omega >0$$ sigue por la aditividad de la integral. (Si desea profundizar más, va a depender de cómo se defina $\int$.)