La intuición para la Definición Formal de la Independencia Lineal

Question

Aprendí acerca de esto hace mucho tiempo pero nunca me gustó, lo que me llevó a estas preguntas:

1. Cómo la definición formal (en la parte inferior). Tengo un áspero intuición: independencia lineal es donde las variables son independientes y no afectan a la otra. Pero no sigo la definición formal. Me gustaría tener una profunda comprensión de la definición formal basado en estos combinación lineal de las ecuaciones. No estoy seguro de cómo una combinación lineal construido en cierta manera se puede decir que las variables son independientes o no.
2. ¿Por qué establecer la combinación lineal de las ecuaciones de $\vec{0}$. No veo cómo el ajuste a cero ayuda a determinar la independencia o no.
3. ¿Por qué elegir a $a_i$ a ser distinto de cero en uno de los casos. Parece arbitraria.

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De La Wikipedia:

Un subconjunto $S=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ de un espacio vectorial $V$ es linealmente dependiente si existen un número finito de distintos vectores ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{k}$ $S$ y escalares $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$, no todos cero, tales que

$$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\cdots +a_{k}{\vec {v}}_{k}={\vec {0}}$$

donde ${\vec {0}}$ denota el vector cero.

Los vectores en un conjunto $T=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ son linealmente independientes si la ecuación

$$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\cdots +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$$

sólo puede ser satisfecha por $a_{i}=0$$i=1,\dots ,n$.

Así que mi entendimiento es que hay dos subconjuntos $S$$T$$V$. En uno de ellos, los coeficientes no son todos cero, en el otro son todos cero. En uno de los casos que son linealmente dependientes, en el otro no. No entiendo por qué ; eso es tanto como yo lo entiendo. No sé por qué las ecuaciones fueron construidas como este en el primer lugar.

Answer 1

Imagina que tienes una colección de flechas apuntando en varias direcciones. Si son linealmente dependientes, entonces usted puede estirar, encoger, y a la inversa (pero no girar), de tal manera que si se ponen de cabeza a cola, a continuación, que forman un bucle cerrado. Por ejemplo, si tiene tres flechas que nos pasan a todos se encuentran en el mismo plano (linealmente dependiente, entonces usted puede formar un triángulo de ellos, pero no se puede si uno de ellos sobresale del plano formado por los otros dos (linealmente independientes).

Answer 2

Antes de que nos peleamos con independencia lineal, podría ser la mejor manera de averiguar qué lineal dependencia significa primero.

Cuando pienso en la frase "dependencia lineal con respecto a un conjunto de vectores, lo que me viene a la mente es que, en cierto sentido, uno de los vectores "depende" de los otros vectores en el conjunto. La formalización matemática de esta dependencia es:

Un conjunto de vectores distintos de cero $\{\mathbf{v}_i \}$ en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ se denomina linealmente dependiente cuando exista$^\dagger$$k$, de modo que uno puede escribir $\displaystyle \mathbf{v}_k = \sum_{n \neq k} c_n \mathbf{v}_n$ donde $c_n \in F$.

Así que podemos decir $\mathbf{v}_k$ "depende" de los otros vectores: para cualquier $d \in \mathbb{R}$, uno puede llegar al punto de $d\mathbf{v}_k$ simplemente por viajar cierta distancia en cada una de las otras direcciones$^\ddagger$ $\mathbf{v}_{i \neq k}$. Tenga en cuenta que, debido a $\mathbf{v}_k$ es un vector distinto de cero, debemos tener $c_n \neq 0$ durante al menos un $n$. A continuación, podemos reescribir la anterior como $\mathbf{v}_k - \displaystyle \sum_{n \neq k} c_n \mathbf{v}_n = 0$.

A partir de esto, es fácil deducir que un conjunto de vectores es linealmente dependiente de la $\iff$ podemos encontrar un conjunto de constantes $\{c_n\}$, no todos cero, por lo que el $\displaystyle \sum_n c_n \mathbf{v}_n = 0$. Esta instrucción es equivalente a nuestra definición lineal enla dependencia:

Un conjunto de vectores $\{\mathbf{v}_i \}$ se denomina linealmente endependiente de la $\iff$ podemosno encontrar un conjunto de constantes $\{c_n\}$, no todos cero, por lo que el $\displaystyle \sum_n c_n \mathbf{v}_n = 0$. Es decir, $c_n = 0$ todos los $n$ es la única solución para esta ecuación.

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$^\dagger$ $k$ Nunca es único.

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$^\ddagger$ , Para dar un ejemplo concreto, vamos a $\displaystyle \mathbf{v}_1 = \left[1 \atop 0 \right], \mathbf{v}_2 = \left[0 \atop 1\right]$, e $\displaystyle \mathbf{v}_3 = \left[1 \atop 1\right]$$\mathbb{R}^2$. Ver que $\mathbf{v}_3$ depende de $\mathbf{v}_1$ $\mathbf{v}_2$ ya que se puede llegar a el punto de $d \mathbf{v}_3$ cualquier $d \in \mathbb{R}$ por primera viajar $d$ unidades en el $\mathbf{v}_1$ dirección y, a continuación, $d$ unidades en el $\mathbf{v}_2$ dirección.

Answer 3

Usted tiene dependencia lineal cuando un vector se puede expresar como una combinación lineal de los otros en el conjunto. La dependencia en este sentido es como el$y$$y=f(x)$, lo que significa que el $y$ depende de los valores de $x$ y se determina a través de $f$. Esto sucede cuando usted puede escribir una combinación lineal de los vectores es igual a cero, puesto que usted puede mover uno de los vectores en el otro lado y se dividen por $-a_{i}$. Por supuesto, el coeficiente no debe ser todos los ceros de lo contrario, usted sólo tiene $0=0$.

Answer 4

Aquí está mi intuición: Pensar de vectores como los ejes que utilizamos para definir una de dos dimensiones, tres dimensiones, o $n$espacio tridimensional. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente cuando uno de los vectores no es necesario, que no aporta nada útil a nuestro sistema de coordenadas. Esto sucede cuando un vector es simplemente una combinación lineal de otros vectores en el conjunto.

Como un ejemplo, considere estos tres vectores en el espacio de dos dimensiones:

$\vec w = \begin{bmatrix}2 \\3 \end{bmatrix}$, $\vec x = \begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$, $\vec y = \begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$

En este caso, podemos expresar $\vec w$ como una combinación lineal de los otros dos vectores, $\vec w = 2 \vec x + 3 \vec y$:

$\begin{bmatrix}2 \\3 \end{bmatrix} = 2\cdot \begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} + 3\cdot \begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$

Equivalentemente, podemos reescribir esto como $2\vec x + 3 \vec y - 1\vec w = 0$:

$2\cdot \begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} + 3\cdot \begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix} - 1 \begin{bmatrix}2 \\3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}$

Intuitivamente, esto es lo que se entiende por prueba. Cuando estos factores se mantenga, esto significa que al menos uno de los vectores es esencialmente "redundante e innecesario - es sólo una combinación de los otros vectores.

Más en general, suponga que tiene un conjunto de vectores con esta propiedad:

$a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + ... + a_n \vec v_n = 0 $

Esto puede ser escrito como:

$-a_1 \vec v_1 = a_2 \vec v_2 + ... + a_n \vec v_n$

Lo que significa que $v_1$ se puede expresar simplemente como una combinación lineal de los otros vectores:

$v_1 = a_2' v_2 + ... + a_n'v_n$

Cuando usted tiene un conjunto de vectores como este, significa que usted tiene varias maneras de expresar el mismo punto de la utilización de su sistema de coordenadas. Por ejemplo, con el de los vectores anteriores, un punto que pudieron ser identificados en el estándar de x/y sistema de coordenadas (8, 15). Pero el mismo punto también podría ser expresada como (4, 3) en w/y de las coordenadas (5, -2) en w/x coordenadas:

$8\vec x + 15 \vec y = 8\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} + 15 \begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 \\15 \end{bmatrix}$

$4\vec w + 3 \vec y = 4\begin{bmatrix}2 \\3 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 \\15 \end{bmatrix}$

$5\vec w -2 \vec x = 5\begin{bmatrix}2 \\3 \end{bmatrix} -2\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 \\15 \end{bmatrix}$

Normalmente, en lugar de tener un conjunto mínimo de vectores, de modo que sólo hay una manera para representar cada punto. Se mantiene la matemática más simple. Esto es similar a un sistema de ecuaciones en el cual se tienen tres ecuaciones de dos incógnitas. En el anterior, ya que tenemos $\vec w = 2 \vec x + 3 \vec y$, siempre podemos sustituir $\vec x$$\vec y$$\vec w$.

Tenga en cuenta que no hay "correcto" sistema de coordenadas, cualquier conjunto de dos vectores aquí, $\{\vec x, \vec y\}$, $\{\vec w, \vec y\}$, o $\{\vec w, \vec x\}$, proporcionaría una base válida para un sistema de coordenadas bidimensional. Pero no hay necesidad de tener tres vectores para representar un punto en un espacio bidimensional.

Answer 5

Si nos dan dos vectores no paralelos prueban $u,v$ en el espacio, que abarcan un plano en 2d subespacio. Cualquier vector en el avión puede ser expresado como $\lambda u+\mu v$, estos serán los dependientes de los vectores de $u,v$, todos los demás serán independientes de $u,v$.
Y, por cierto, $\lambda,\mu$ son las coordenadas de w.r.t. base $u,v$ de avión $\mathrm{span}(u,v)$.

El significado geométrico de $n$ vectores ser linealmente independientes es que abarcan exactamente $n$ dimensiones,
alternativamente, forman una base para el subespacio que generan.

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Una de las características principales de espacios vectoriales es que podemos configurar sistemas de coordenadas y coordinar todos los vectores en un único camino.

La configuración de un sistema de coordenadas es equivalente a dar a los vectores de la base.
Un sistema de vectores es bueno para la coordinación de todos los vectores de la fib es un sistema de generación, es decir, genera todo el espacio vectorial (por medio de combinaciones lineales).
Un sistema de vectores $v_k$ es bueno para la coordinación de los vectores de una manera única iff es linealmente independiente.

• De hecho, si $\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n=\mu_1v_1+\dots+\mu_nv_n$ son dos coordenadas diferentes para el mismo vectores, entonces se $(\lambda_1-\mu_1)v_1+\dots+(\lambda_n-\mu_n)v_n=0$, con al menos 1 coeficiente distinto de cero.
• Si, por otro lado, $v_i$ únicamente las coordenadas de los vectores, en particular, lo hace por $0$.