¿Cuál es el grupo de Galois del seno?

Question

Estoy tratando de definir el grupo de Galois de las funciones complejas. Por ejemplo para el seno tenemos la representación del producto:

$$\sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1-\frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)$$ Las raíces de $\sin$ son $0,\pm k \pi$ , $k\in \mathbb{N}$ . Se sabe que $\pi$ es trascendente, de ahí que el campo $\mathbb{Q}(\pi)$ es isomorfo como campos a $\mathbb{Q}(x)$ . Si definimos $\sigma(\pi)=-\pi$ y extenderlo a un $\mathbb{Q}(\pi)/\mathbb{Q}$ automorfismo, entonces el Grupo de Galois de $\sin$ en $\mathbb{Q}$ debe ser $C_2$ el grupo cíclico.

1) ¿Alguna sugerencia de cómo definir un grupo de Galois de una función compleja como un grupo de permutaciones de las raíces de estas funciones?

2) ¿Conoce alguna otra función en la que el "grupo de Galois", tal como se define a continuación, dé lugar a un grupo no trivial que no sea $C_2$ ?

Por ejemplo: ¿Cuál es el grupo definido a continuación, para la función theta de Ramanujan en $b=1$ ( https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product#Product_representations_of_functions ) : $$f(a,1) = \prod_{n=0}^\infty (1+a^{n+1})(1+a^n)(1-a^{n+1})$$

Parece que tiene algo que ver con las raíces de la unidad.

Definición preliminar: Sea $\Lambda := \{ z \in \mathbb{C} | f(z) = 0 \}$ . Dejemos que $\mathbb{Q}(\Lambda)$ sea el subcampo más pequeño de $\mathbb{C}$ que contiene $\Lambda$ . Definir el grupo de Galois de $f$ para ser $$ Gal(f/\mathbb{Q}) := \{ \sigma \in Aut(\mathbb{Q}(\Lambda)/\mathbb{Q})| z \in \Lambda \rightarrow \sigma(z) \in \Lambda \text{ and } \sigma^{-1}(z) \in \Lambda\}$$ Nótese que para los polinomios, la última propiedad se cumple automáticamente, ya que los automorfismos conmutan con el polinomio en el siguiente sentido: $ \sigma(p(z)) = p(\sigma(z))$ . El ejemplo anterior para $\sin$ muestra que $C_2$ es un subgrupo del grupo de Galois. ¿Es posible probar dada la definición anterior que $C_2$ es igual al grupo de Galois?

Editar : Por los comentarios que siguen, sólo debemos considerar los automorfismos de la extensión del campo que dejan $\mathbb{Q}$ sin cambios y permutar las raíces de la función. En el ejemplo anterior tenemos para cualquier raíz $ z = k\pi, k \in \mathbb{Z}$ eso: $$ 0 = \sigma(0) = \sigma(\sin(z)) = \sin(z) = \sin(-z) = \sin(\sigma(z))$$ Por lo tanto, $\sigma$ mapea raíces a raíces y es un automorfismo de $\mathbb{Q(\pi)}$ que deja $\mathbb{Q}$ sin cambios. No creo que se necesite la continuidad aquí. ¿O me he perdido algo? Creo que en general ( para $z \in \mathbb{Q}(\pi)$ ) no tenemos $\sigma(\sin(z)) = \sin(\sigma(z))$ Así que @Micah tiene razón con su argumento. No sé si esto sigue dando algo interesante o no. De todos modos, no está claro cómo $\sigma(\sin(z))$ debería definirse, ya que podría darse el caso de que $\sin(z)$ no es un elemento de $\mathbb{Q}(\pi)$ aunque $z$ es. (Por ejemplo $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ no es un elemento de $\mathbb{Q}(\pi)$ por lo que, en general, no tiene sentido definir $\sigma$ en dichos elementos).

Answer 1

La pregunta está mal planteada. Por favor, busca una referencia sobre el tema de la teoría de Galois infinita para que sepas de qué trata realmente ese tema.

Desde $\pi$ es trascendental sobre $\mathbf Q$ la extensión puramente trascendental $\mathbf Q(\pi)$ no forma parte de la teoría de Galois. Por supuesto, se puede preguntar por los automorfismos de este campo que fijan $\mathbf Q$ pero esto es no llamado grupo de Galois. Se denomina grupo de $\mathbf Q$ -automorfismos de $\mathbf Q(\pi)$ .

Lo que intentas hacer está condenado a ser poco interesante. Supongamos que hay un $\mathbf Q$ -automorfismo $\sigma$ de $\mathbf Q(\pi)$ con $\sigma(\pi) = a\pi$ para algún número entero $a$ necesariamente distinto de cero (ya que $\sigma$ es inyectiva). Entonces por $\mathbf Q$ -linealidad tenemos $\sigma^{-1}(\pi) =(1/a)\pi$ y su sueño es que las raíces de $\sin z$ se permutan por los automorfismos, por lo que se necesita $1/a$ sea un número entero. Así, $a = \pm 1$ . O bien $\sigma$ fija $\pi$ o lo envía a su negativo. No hay $\mathbf Q$ -automorfismo de $\mathbf Q(\pi)$ permutando las raíces de $\sin z$ que envía $\pi$ a cualquier raíz que no sea $\pm \pi$ . Así que realmente no hay nada interesante que hacer.

El estudio del grupo de todo automorfismos de una extensión de campo trascendental tiene importantes conexiones con la geometría algebraica, pero tratar de forzar los múltiplos enteros de $\pi$ para comportarse como algo en la teoría de Galois parece un callejón sin salida. Sería mejor que aprendieras la bien desarrollada teoría de extensiones de Galois de grado infinito, que involucra conceptos topológicos de manera sorprendente.