Ejemplos de los resultados de los análisis mediante la teoría de la probabilidad

Question

A veces, los buenos resultados del análisis aparecen inesperadamente en la teoría de la probabilidad.

Aquí hay un par de ejemplos:

$1.$ Si $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$, $Z^2 \sim \Gamma(1/2,2)$

Cuando queremos demostrar esto, nos encontramos con que $Z^2$ tiene función de densidad de $x \mapsto \sqrt{2\pi}^{-1} x^{-1/2} e^{-x/2}$ $x \geq 0$ y la comparación de esta con la función de densidad de la gamma $(1/2,2)$ de la distribución, y con el hecho de que $\int_{-\infty}^{+ \infty} f(x)dx = 1$ para una función de densidad de $f$, se deduce que el $\boxed{\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}}$

$2.$ Si $X \sim \Gamma(\alpha_1, \beta), Y \sim \Gamma( \alpha_2, \beta)$ $X,Y$ son independientes, entonces la $X+Y \sim\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2, \beta)$

Mientras demostrar esto, uno puede encontrar la identidad

$$\boxed{\int_0^1 u^{\alpha_1 -1}(1-u)^{\alpha_2 -1}du = \frac{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2)}}$$

Así que mi pregunta es: ¿cuáles son otros ejemplos donde podemos encontrar interesantes resultados de análisis (o de otras ramas de las matemáticas), utilizando la teoría de la probabilidad?

Answer 1

La primera que se me ocurre es definitivamente de Weierstrass del teorema de Aproximación, diciendo que toda función continua en un intervalo cerrado se puede aproximar uniformemente por polinomios. Esto puede ser probado de la siguiente manera (fuente: Grimmet & Welsh, Probabilidad: una introducción, 2ª edición):

Vamos a ($X_i$) ser una secuencia de yo.yo.d. Bernoulli$(p)$ variables, por lo $\mathbb{P}(X_i=0)=1-p$$\mathbb{P}(X_i=1)=p$, para todos los $i\in\mathbb{N}$.

a) Deje $f$ ser una función continua de la $[0,1]$ y demostrar que $$B_n(p)=\mathbb{E}\left(f\left(\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}\right)\right)$$ is a polynomial in $p$ of degree at most $$ n.

b) el Uso de la desigualdad de Chebyshev para demostrar que para todos los $p$ tal que $0\leq p\leq1$, y para cualquier $\epsilon>0$, $$\sum_{k\in K}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\leq\frac{1}{4n\epsilon^2},$$ where $K=\{k:0\leq k\leq n, |k/n-p|>\epsilon\}$.

c) el Uso de este y el hecho de que $f$ es limitado y uniformemente continua en a $[0,1]$, probar la siguiente versión de la aproximación de Weierstrass teorema: $$\lim_{n\to\infty}\sup_{0\leq p\leq1}|f(p)-B_n(p)|=0.$$

Otro buen resultado es $$\lim_{n\to\infty}\left(\exp(-n)\sum_{k=1}^n\frac{n^k}{k!}\right)=\frac12,$$ which can be proved by applying the Central Limit Theorem to a sequence of i.i.d. $\mathrm{Pdi}(1)$ distribuido variables aleatorias.

Answer 2

Existen funciones continuas $f:[0,1] \to \mathbb{R}$, que es diferenciable.

La, así llamada, el movimiento Browniano es un proceso estocástico que tiene (con probabilidad uno) muestra las rutas en las cuales se Hölder continua pero no diferenciable. Esto demuestra, en particular, la existencia de funciones con las propiedades anteriores.

Por otra parte, existe una estrecha conexión entre el Pde y el movimiento Browniano, y por lo tanto el movimiento Browniano puede ser utilizado para dar probabilística de las pruebas de la PDE resultados; por ejemplo, para estudiar la existencia y unicidad de soluciones para la ecuación del calor o el problema de Dirichlet.

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De Lipschitz continua de las funciones están en casi todas partes diferenciables.

Hay un probabilística de la prueba de esta afirmación que se basa en la martingala teorema de convergencia, ver esta pregunta aquí para más detalles.

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El cálculo numérico de $\pi$

El fuerte de la ley de los grandes números se pueden utilizar para calcular los $\pi$ numéricamente. De hecho, si consideramos una secuencia de variables aleatorias independientes $(X_n)_{n \geq 1}$ cuales son distribuidos de manera uniforme en la plaza de la $[-1,1] \times [-1,1]$, luego

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1_{|X_i| \leq 1}(\omega) = \frac{1}{n} \sharp \{1 \leq i \leq n; |X_i(\omega)| \leq 1\}$$

converge casi seguramente a$\pi/4$$n \to \infty$. Muestreo de una secuencia $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es bastante fácil, y por lo tanto esta es una buena forma para calcular el $\pi$ numéricamente.

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Existen un número normal.

La existencia de un número normal puede ser demostrado mediante la aplicación de la fuerte ley de los grandes números. Borel utilizan métodos probabilísticos para demostrar que Lebsgue-casi todos los números reales son normales.

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Observación: tenga en cuenta que hay un hilo similar en mathoverflow con un montón de ejemplos!

Answer 3

1) Un clásico problema investigado por Erdos es:

Deje $a_{0}=1$ y $$a_{n}=a_{\left\lfloor n/2\right\rfloor}+a_{\left\lfloor n/3 \right\rfloor}+a_{\left\lfloor n/6\right\rfloor}.$$ Mostrar que

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n}=\dfrac{12}{\log{432}},$$

donde $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero no mayor que $x$. Hay una solución maravillosa que involucran opcional de frenado y procesos de Markov: Cómo probar este bonito límite de $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}=\frac{12}{\log{432}}$

Answer 4

La transformada de Fourier $\mathcal{F}: L^p(\mathbb{R}^d) \to L^{p'}(\mathbb{R}^d)$ es ilimitado para $p>2$. Esto es una consecuencia de Khintchine la Desigualdad.

También, la misma desigualdad puede ser usado para demostrar la Littlewood-Paley Teorema, que dice que $$\|f\|_p \simeq \|Sf\|_p$$ con una constante dependiente de la $p$ donde $S$ es el Littlewood-Paley plaza de la función, que se puede considerar como la proyección de $f$ en diádica frecuencias.

Answer 5

Un tiempo atrás alguien le preguntó una pregunta aquí sobre el promedio de la distancia de un punto en un $n$-dimensiones hipercubo de vuelta hasta el centro de la hipercubo.

Este es un sencillo (si tedioso) el ejercicio de la integración, pero me pareció encantador que no es un simple argumento de que implican el teorema del límite central, que muestra que la distancia tiende a $\sqrt{\frac{n}{12}}$. Yo nunca, ni por un momento creyó que este argumento es original, pero me gusta todo lo mismo.