Hallazgo $\int^{1}_{0}\frac{\ln^2(x)}{\sqrt{4-x^2}}dx$

Question

Búsqueda de $$\int^{1}_{0}\frac{\ln^2(x)}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

Probar: Vamos A $$I=\frac{1}{2}\int^{1}_{0}\frac{\ln^2(x)}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}=\frac{1}{2}\int^{1}_{0}\sum^{\infty}_{n=0}\binom{-1/2}{n}\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)^nx^{2n}\ln^2(x)dx$$

$$I=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=0}\binom{-1/2}{n}\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)^n\int^{1}_{0}x^{2n}\ln^2(x)dx$$

El uso Por partes , Tenemos

$$I=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=0}\binom{-1/2}{n}\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)^n\frac{2}{(2n+1)^3}$$

Pero la respuesta dada como $\displaystyle\frac{7\pi^3}{216}$

Yo no soy entender Cómo puedo obtener. alguien podría ayudarme , Gracias

Answer 1

Vamos a integrar a $\,f_p(x) := \ln^2(x)/\sqrt{p-x^2}\,$ mediante el uso de funciones hipergeométricas. Deje $\,y:=x^2/p\,,\,$ y $\,h_0(x) := \!_1F_0(\frac12;;y) = 1/\sqrt{1-y},\,$ $\,h_1(x) := \!_2F_1(\frac12,\frac12;\frac32;y),\,$ $\,h_2(x) := \!_3F_2(\frac12,\frac12,\frac12;\frac32,\frac32;y),\,$ y $\,h_3(x) := \!_4F_3(\frac12,\frac12,\frac12,\frac12;\frac32,\frac32,\frac32;y).\,$ Tenga en cuenta que $\,x h_n^{'}(x) = h_{n-1}(x)-h_n(x)\,$ si $\,n>0.\,$ Deje $\,g_p(x) := \int f_p(x)\,dx = \sqrt{y}\,(2h_3(x) -2\ln(x)h_2(x) +\ln(x)^2h_1(x)).\,$ $\,g_p(0) = 0,\,$ y por lo tanto $\, I:=\int_0^1 f_p(x)\,dx = g_p(1) = 2h_3(1/p)/\sqrt{p}.\,$ En nuestro caso $\,p=4\,$ $\,I = h_3(1/4) = 7\pi^3/216.\,$