¿Por qué la siguiente secuencia monótona decreciente?

Question

La secuencia en cuestión es $$ a_n = \sqrt{n^2+4}-n\,. $$ Puedo ver que es estrictamente decreciente por la búsqueda de la derivada y de la observación de que es negativo en todo el rango que contiene los valores relevantes de $n$. Pero siento que debe haber una simplificación algebraica razón por la que no estoy viendo.

Answer 1

Observe que hemos $$\sqrt{n^2+4}-n = \frac{4}{\sqrt{n^2+4}+n}$$

por tanto, como $n$ aumenta, la expresión se reduce a medida que el denominador es positivo y aumenta mientras que el numerador es una constante positiva.

Answer 2

Alternativamente, usted puede mostrar: $$ \begin{split} a_n>a_{n+1} & \iff \sqrt{n^2+4}-n>\sqrt{(n+1)^2+4}-(n+1)\\ & \iff \sqrt{n^2+4}+1>\sqrt{n^2+2n+5}\\ & \iff n^2+4+2\sqrt{n^2+4}+1>n^2+2n+5\\ & \iff \sqrt{n^2+4}>n\\ & \iff n^2+4>n^2\\ & \iff 4>0 \end{split} $$

Answer 3

Escribo como $a_n = \sqrt{n^2 + 4} - \sqrt{n^2}$.

Interpretar como "el incremento en el $\sqrt{x}$ al $x$ es mayor por $4$",$x = n^2$. Tenga en cuenta que este es decreciente en $x$ fib es la disminución en el $n$, ya que todos estos números son positivos.

Otra manera de pensar acerca de esto es como "la cantidad por la que necesito para aumentar el $y = \sqrt{x}$ hacer $y^2$ aumentar $4$".

Desde $y^2$ crece más rápido para grandes $y$, esta cantidad va a ser más pequeñas para grandes $y$.

Answer 4

[EDITAR] acabo de ver que has probado este método. No voy a borrar este post, ya que podría ayudar a otros usuarios.

Otro enfoque que generalmente funciona:

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: n \mapsto \sqrt{n^2 + 4} - n$

Entonces

$$f'(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 4}}-1 = \frac{n}{n \sqrt{1 + 4/n^2}} - 1 = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{1+4/n^2}}}_{>1}-1 < 0$$

Por lo tanto la función es decreciente en $\mathbb{R}$ y, ciertamente, en $\mathbb{N}$.