Es la suma (diferencia) de Borel conjunto con sí mismo un conjunto de Borel?

Question

Vamos $d \in \mathbb{N}$, $A \subset \mathbb{R}^d$, ser un conjunto de Borel. Considere la posibilidad de sumas de Minkowski $$ \mathbb{S}(A) = a + a = \{x + y:\; x,y\in A \} $$ $$ \mathbb{D}(A) = a - a = \{x - y:\; x,y\in A\} $$ Deben los conjuntos de $\mathbb{S}(A)$ $\mathbb{D}(A)$ ser Borel al $A$ es un conjunto de Borel?

Sé que se produce cuando consideramos la suma de dos conjuntos diferentes $A+B$ (véase este documento para más detalles).

Answer 1

Elegir distintos perfecto conjuntos de $P, Q \subseteq [0, 1]$ tal que $P \cup Q$ es linealmente independiente sobre el campo de los racionales. Por lo $+ \upharpoonright (P \times Q)$ es un homeomorphism de $P \times Q$ a un subconjunto compacto de $[0, 2]$.

Deje $W$ ser un subconjunto de Borel $P \times Q$ cuya proyección en la primera coordenada no es Borel. Deje $A = \{x + y : (x, y) \in W \}$. Tenga en cuenta que $A$ es de Borel.

Poner $X = A \cup (\{10\} + Q)$$Y = A \cup (\{10\} - Q)$. A continuación, tanto en $X, Y$ son Borel como $Q$ es perfecto y $A$ es de Borel.

Ahora compruebe que

$$(X - X) \cap (\{10\} - P) = \{10 - x: (\exists y \in Q)((x, y) \in W)\}$$

y

$$(Y + Y) \cap (\{10\} + P) = \{10 + x: (\exists y \in Q)((x, y) \in W)\}$$

De ello se desprende que $X - X$ $Y + Y$ no Borel.