Esto no funciona si usted acaba de hacer ingenuamente. La mayoría de los ingenuos definición de un "infinito palabra" sería una infinita cadena de $s_1s_2s_3\dots$ donde cada una de las $s_n$ es un elemento de $S$ o el formal inverso de un elemento de $S$. Esta falla horriblemente, ya que esas cadenas no son cerrados bajo la composición o inversos. Por ejemplo, la inversa de una infinita cadena ser infinitamente larga a la izquierda, en lugar de a la derecha. Y si concatenar dos infinito de cadenas, se obtiene una cadena de la forma $(s_1s_2s_3\dots)(t_1t_2t_3\dots)$ donde las "cartas" en la palabra ahora están ordenados en una secuencia indexados por el ordinal $\omega+\omega$, en lugar de sólo por los números naturales. Así que, para dar sentido a esta idea, es necesario para permitir una más exótica variedad de "infinito palabras" que puede tener diferentes infinito totalmente de conjuntos ordenados según su índice de conjuntos.
Otro obstáculo importante es la Eilenberg estafa. Es decir, vamos a $s\in S$ (o más en general, vamos a $s$ ser cualquier palabra) y considerar la infinita palabra $w=sss\dots$. Entonces cualquier definición razonable de un "grupo de infinitas palabras" debe tener $sw=w$, lo que implica entonces $s=1$! Así que si usted quiere que su grupo no trivial, usted necesita para imponer alguna restricción que impide a las palabras de este tipo.
Sin embargo, la noticia no es del todo malo! Existe al menos una interesante construcción de un "grupo libre con infinidad de palabras" (hay probablemente otros también; no sé la literatura sobre este tema). Usted puede encontrar los detalles en la Sección 3 del buen papel de La Combinatoria de la Estructura de la Hawaiana Pendiente de Grupo por J. W. Cannon y G. R. Conner. Específicamente, el Cañón y Conner definir un "transfinito palabra" en un conjunto $S$ a ser un mapa de $f:I\to S\cup S^{-1}$ donde $I$ es un conjunto totalmente ordenado, $S^{-1}$ es el conjunto formal de los inversos de los elementos de $S$, y cada fibra de $f$ es finito. Así, usted puede tener una palabra indexada por cualquier totalmente conjunto ordenado, siempre y cuando cada elemento de a $S$ sólo aparece en sólo un número finito de veces (esta finitud de la condición evita Eilenberg estafas). Dos palabras $f:I\to S\cup S^{-1}$ $g:J\to S\cup S^{-1}$ se identifica si existe un orden, un isomorfismo $I\cong J$, lo que convierte a $f$ a $g$. Luego de definir una relación de equivalencia en tales palabras, el uso de un tipo de cancelación, demostrar que cada palabra es equivalente a un único "reducido" de la palabra, y utilice esta opción para definir un "gran grupo" en la $S$ consta de transfinito palabras modulo de equivalencia (o, equivalentemente, la reducción de transfinito palabras).
Al $S$ es countably infinito, este grupo es isomorfo al grupo fundamental de la pendiente de Hawai. Lamentablemente, esta construcción sólo es realmente de interés al $S$ es infinito, ya que al $S$ es finito todas las palabras deben ser finito, y que acaba de llegar al ordinarias de grupo libre.
