NicNic8 ha proporcionado una buena respuesta intuitiva a la pregunta.
Aquí hay tres métodos alternativos. En la primera, podemos resolver el problema directamente por considerar que las tazas son seleccionados si ella está envenenado. En el segundo, resolver el problema de forma indirecta por considerar el orden en el que las tazas son seleccionados si ella no está envenenado. En la tercera, añadimos las probabilidades de que ella fue envenenado con la primera copa, la segunda taza, o un tercio de taza.
Método 1: utilizamos la distribución hipergeométrica.
Hay $\binom{4}{3}$ formas de seleccionar tres de las cuatro copas. De estos, la persona que la selección de las tazas es envenenado si ella selecciona la copa envenenada y dos de los tres tazas de agua, que se puede hacer en $\binom{1}{1}\binom{3}{2}$ maneras. Por lo tanto, la probabilidad de que ella es envenenado es
$$\Pr(\text{poisoned}) = \frac{\binom{1}{1}\binom{3}{2}}{\binom{4}{3}} = \frac{1 \cdot 3}{4} = \frac{3}{4}$$
Método 2: restamos la probabilidad de que ella no está envenenado de $1$.
La probabilidad de que la primera copa que selecciona no está envenenado es$3/4$, ya que en tres de las cuatro copas no contienen veneno. Si la primera copa que selecciona no está envenenada, la probabilidad de que la segunda copa que selecciona no está envenenado es$2/3$, ya que dos de los tres restantes, tazas no contienen veneno. Si ambos de los primeros dos tazas de ella selecciona no están envenenados, la probabilidad de que la tercera copa que selecciona es también no envenenado es $1/2$ ya que uno de los dos restantes tazas no está envenenado. Por lo tanto, la probabilidad de que ella no está envenenado si se bebe tres de las cuatro copas es
$$\Pr(\text{not poisoned}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
Por lo tanto, la probabilidad de que ella es envenenado es
$$\Pr(\text{poisoned}) = 1 - \Pr(\text{not poisoned}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
Método 3: calculamos la probabilidad de que la persona está envenenado por la adición de las probabilidades de que ella es envenenado con la primera copa, la segunda taza de café, y la tercera copa.
Deje $P_k$ denotar el caso de que ella es envenenado con la $k$th de la copa.
Puesto que hay cuatro tazas, de los cuales sólo uno contiene veneno, la probabilidad de que ella se envenena con su primera copa es
$$\Pr(P_1) = \frac{1}{4}$$
Para ser envenenados con la segunda taza de café, ella no debe haber sido envenenado con la primera taza y luego se envenenó con la segunda taza de café. La probabilidad de que ella no está envenenado con la primera copa del es $\Pr(P_1^C) = 1 - 1/4 = 3/4$. Si ella no está envenenado con la primera copa, hay tres tazas restantes de los cuales uno es envenenado, por lo que la probabilidad de que ella es envenenado con la segunda taza de café si ella no está envenenado con la primera es $\Pr(P_2 \mid P_1^C) = 1/3$. Por lo tanto, la probabilidad de que ella es envenenado con la segunda copa es
$$\Pr(P_2) = \Pr(P_2 \mid P_1^C)\Pr(P_1) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$$
Para ser envenenado con la tercera copa, ella no debe haber sido envenenado con la primera de dos tazas y, a continuación, ser envenenado con la tercera copa. La probabilidad de que ella no está envenenado con la primera copa del es $\Pr(P_1^C) = 3/4$. La probabilidad de que ella no está envenenado con la segunda copa ya que ella no fue envenenado con la primera es $\Pr(P_2^C \mid P_1^C) = 1 - \Pr(P_2 \mid P_1^C) = 1 - 1/3 = 2/3$. Si ninguna de las dos primeras copas de ella bebió fue envenenado, dos tazas son de izquierda, uno de los cuales está envenenado, por lo que la probabilidad de que la tercera copa de la que bebe es envenenado dado que los dos primeros no fueron es $\Pr(P_3 \mid P_1^C \cap P_2^C) = 1/2$. Por lo tanto, la probabilidad de que ella es envenenado con la tercera copa es
$$\Pr(P_3) = \Pr(P_3 \mid P_1^C \cap P_2^C)\Pr(P_2^C \mid P_1^C)\Pr(P_1^C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$
Por lo tanto, la probabilidad de que ella es envenenado es
$$\Pr(\text{poisoned}) = \Pr(P_1) + \Pr(P_2) + \Pr(P_3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
