La métrica de los componentes en dos dimensiones espacio-tiempo está dado en términos de las coordenadas $(t, x)$ por$$ds^2 = f(x)\,dt^2 + dx^2.$$What is the scalar curvature, $R$, de esta métrica?
Respuesta
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Definir la base ortonormales $$ e^0 = f \, dt, \quad e^1 = dx. $$ Entonces $$ de^0 = \frac{f'}{f} e^1 \wedge e^0, \quad de^1 = 0. $$ Cartan la primera de ecuaciones estructurales, $$ de^i = -\omega^i{}_j \wedge e^j, $$ implica que $$ \omega^0{}_1 = \frac{f'}{f} e^0, $$ que por antisymmetry es efectivamente el único distinto de cero de la curvatura de la forma en dos dimensiones.
El segundo de ecuaciones estructurales es $$ \Theta^i{}_j = \frac{1}{2} R^i{}_{jkl} e^i \wedge e^j = d\omega^i{}_j + \omega^i{}_k \wedge \omega^k{}_j, $$ y el segundo término en el lado derecho se desvanece en dos dimensiones porque no hay suficientes dimensiones para los índices de $i,j,k$ a ser distinto.
A continuación, $$ \Theta^0{}_1 = d\left( f' dt \right) = f'' dx \wedge dt = \frac{f''}{f} e^1 \wedge e^0, $$ así $$ R^0{}_{110} = \frac{f''}{f}, $$ o $$ R^1{}_{010}=-\frac{f''}{f} $$ en la forma más útil, y el tensor de Ricci es así $$ R_{11}=R_{22}=-\frac{f''}{f}, $$ y sumando da $$ R=\frac{2f''}{f}. $$ Este es por lejos la forma más rápida sé para calcular las curvaturas, especialmente en dos dimensiones cuando la extra de cuña plazo no está presente.
