Espero que usted puede encontrar útil.
Toda curva elíptica $C(\mathbb {Q})$ es canónicamente escribir como $y^2=4x^3-g_2x-g_3$... (1) en la que las tres raíces de la derecha son diferentes; por un birational transformación de $(x,y)\to (\frac x4, \frac y4)$ $y^2=x^3-h_2x-h_3$ ... (2) donde: $h_2$ $h_3$ puede suponer racionales enteros. Ser $e_1, e_2, e_3$ las tres raíces de (2) uno ha $y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$ en el que hay tres posibilidades: $e_1, e_2, e_3$ son cúbicas de números; uno de ellos es racional y los otros dos cuadrática conjugado irracional; los tres son racionales. Ahora uno tome la norma $y^2=N(x-e_i)$ (donde la norma N es propiamente una norma sólo en la primera posibilidad y en los otros dos no correctamente) y uno tiene que ver sobre el racional $x$ tal que $N(x-e_i)$ es un cuadrado en $\mathbb {Q}$.
Siempre el número de $\mathbb{Q}(e_i)$ cuyas normas son cuadrados perfectos en $\mathbb {Q}$ se distribuyen en un conjunto infinito de clases modulo las plazas de $\mathbb{Q}(e_i)$, pero entre ellos, el binomio números de $x-e_i$ son afortunadamente distribuidos en sólo un número finito de clases. Más precisamente, el conjunto de $K^2$ de los cuadrados de $K=\mathbb {Q}(e_i)$ es un multiplicativo subgrupo de $K^*$ y el cociente grupo $G=K^*/K^2$ formado por las clases de $zK^2$ es claramente infinito pero fijo $e_i$ ; i=1, 2, 3, hay un conjunto finito $z_1K^2, z_2K^2,…,z_rK^2$ $G^{(r)}$ y una partición en $r$ subconjuntos de a $C(\mathbb {Q})$, decir, $R_1, R_2,…,R_r$ donde $(x,y)\in R_j \Rightarrow (x-e_i)\in z_jK^2$.
Finalmente, usted tiene que probar que si $(x,y)\in C(\mathbb {Q})$ $x-e_i=\nu\alpha^2$ donde $\nu$ $\alpha$ están en $\mathbb {Q}(e_i)$, $\nu$ ser capaz de tomar sólo un número finito de valores.
