Estoy tratando de mostrar que si $Y \subseteq $ grupo $G$$z \in G$, $C_{G}(z^{-1}Yz)= z^{-1}C_{G}(Y)z$ donde $C_{G}(Y)$ es el centralizador de $Y$ (es decir, $C_{G}(Y) = \{x \in G | xy = yx, \forall y \in Y \}$).
Entiendo que debido a que este es "un conjunto es igual a", debo mostrar que $C_{G}(z^{-1}Yz)\subset z^{-1}C_{G}(Y) z$$z^{-1}C_{G}(Y) z \subset C_{G} (z^{-1}Yz)$.
En el $z^{-1}C_{G}(Y)z \subset C_{G}(z^{-1}Yz)$ dirección, deje $w \in z^{-1} C_{G}(Y) z$. Entonces, $z^{-1}(wy)z = z^{-1}(yw)z$, $\forall y \in Y$. A continuación, queremos mostrar que $w(z^{-1}Yz) = (z^{-1}Yz)w$, pero estoy muy confundido con la forma de mostrar esto. Multiplicando ambos lados de $z^{-1}(wy)z = z^{-1}(yw)z$ por las cosas no es mi lugar, y yo soy una pérdida en probar lo siguiente. A veces, estas pruebas implican inteligente de pequeños trucos, yo no habría pensado, y por eso me estoy preguntando si me estoy perdiendo algo aquí, y si es así (y aún si no!) ¿cómo debo proceder.
En el $C_{G}(z^{-1}Yz) \subset z^{-1}C_{G}(Y)z$ dirección, si dejamos $u \in C_{G}(z^{-1}Yz)$,$uz^{-1}Yz =z^{-1}Yzu $, y queremos demostrar que esto implica que $u \in z^{-1}C_{G}(Y)z$ o $z^{-1}(uy)z = z^{-1}(yu)z$ todos los $y \in Y$. De nuevo, el mismo problema que antes.
He visto las pruebas que muestra esto para el Normalizador, pero no he comprendido las inclusiones en el $N_{G}(z^{-1}Yz) \subset z^{-1}N_{G}(Y)z$ dirección. De todos modos, incluso si pudiera entender, con el fin de utilizar que me ayude a probar esta, ya que el centralizador está contenida en el normalizador, he a$C_{G}(z^{-1}Yz) \subset N_{G} (z^{-1}Yz)$$z^{-1}C_{G}(Y) z \subset z^{-1}N_{G}(Y)z$, pero, entonces ¿cómo puedo determinar nada acerca de la relación entre el$N_{G} (z^{-1}Yz)$$z^{-1}C_{G}(Y)z$? (Y de las relaciones en la otra dirección?)
