Por lo que he leído uno puede introducir la noción de un vector tangente a un punto en un colector en términos de una clase de equivalencia de curvas que pasan por ese punto (la relación de equivalencia es que no tienen la misma tangente en ese punto). Ahora mi confusión surge del hecho de que en los textos que he leído, el autor presenta una curva de $\gamma :(a,b)\subset\mathbb{R}\rightarrow M$ que es parametrizadas en términos de real del parámetro$t\in (a,b)$,$a<0<b$$\gamma (0)=p\in M$. A partir de este un vector tangente en un punto de $p\in M$ puede ser definido en una coordenada independiente manera, en términos de la derivada direccional de la función $f:M\rightarrow\mathbb{R}$ $$\frac{df}{dt}\bigg\vert_{p}$ $ Sé que si uno presenta un gráfico de coordenadas $(U,\phi)$ (donde$p\in U$), a continuación, la curva puede ser representado en términos de las coordenadas locales, $$(\phi\circ\gamma)(t)=\gamma (x^{1}(t),\ldots ,x^{n}(t))$$ So what distinguishes a parameter $t$ (parametrizing the curve $\gamma$) a partir de una coordenada? Es que el parámetro está definido en términos de una propiedad intrínseca de la curva (tales como arc de longitud) y por lo tanto es independiente de cualquier sistema de coordenadas, o estoy completamente de la incomprensión de las cosas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, en la geometría, el término "coordenadas (función)" cerca de un punto de $p$ de un colector $M$ se refiere a uno de los componentes de un gráfico de coordenadas $\phi$ definido en algunas abrir vecindario $U$$p$.
En el anterior sentido, incluso si $\gamma$ es una simple curva suave a través de $p$ (es decir, $\gamma$ es uno-a-uno, infinitamente diferenciable, que se define en un barrio de $0$, y satisface $\gamma(0) = p$), el parámetro de $t$ $\gamma$ no es una coordenada en $M$ porque $\gamma$ no es (de sí mismo) una parametrización de algunas abrir barrio de $p$ $M$ (a menos que $M$ es una curva).
Dicho esto, no podría existir una parametrización de algunas vecindario $U$ $p$ que se extiende $\gamma$, en cuyo caso $t$ podría convertirse en una coordenada en $p$ en el gráfico resultante.
Por cierto, cuando uno dice "la definición de un vector tangente a $p$ es coordinar independiente", que significa en un suelto sentido filosófico, que no es una definición, posiblemente refiriéndose a una coordenada gráfico cerca de $p$ o una parametrización de un vecindario $U$$p$, que define con precisión el mismo criterio no importa que el gráfico se utiliza. (Los físicos a menudo expresan la misma idea que "el objeto se transforma correctamente" en virtud del cambio de coordenadas.)
Este no es el significado que uno podría leer de la no-matemáticos de la semántica de la frase. :)
Por ejemplo la Wikipedia la definición de un vector tangente decretos que dos curvas suaves $\gamma_{1}$ $\gamma_{2}$ a través de $p$ son equivalentes si, con respecto a algunas de las coordenadas del gráfico de $\phi$ definido cerca de $p$, $$ \frac{d}{dt}\bigg|_{t = 0} (\phi \circ \gamma_{1})(t) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = 0} (\phi \circ \gamma_{2})(t). $$ En términos concretos, si las curvas están expresados como $n$-tuplas de suave, con un valor real de las funciones, tienen el mismo vector de velocidad en $0$ en el sentido de primaria de cálculo. Es fácil ver que esta definición no depende en el gráfico, a pesar de que hace referencia a una hoja de gráfico.
