Complejo integral con la exponencial y la tangente

Question

Supongamos que $k \in \mathbb{R}.$ Evaluar como una función de la $k$ integral $$I(k) : = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{i \ k \ \mathrm{tan}(\phi)} d \phi.$$

Alguna sugerencia sobre cómo abordar este problema? Pensé en cambiar el integrando en una función de $z \in \mathbb{C}$ desde $z=re^{i \theta}$, pero que no parecen conducir a nada fructífero. También pensé en usar el hecho de que $e^{i \theta} = \mathrm{cos(\theta)} + i \ \mathrm{sin(\theta)}$. Gracias.

Answer 1

Cambio de variables a $t=\tan{\phi}$. A continuación,$d\phi = \frac{dt}{1+t^2}$, y la integral se convierte en $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ik t}}{1+t^2} \, dt,$$ que se puede hacer en una gran variedad de formas: la diferenciación bajo el signo integral, Jordania lema, la representación $$\frac{1}{1+t^2} = \int_0^{\infty} e^{-\lambda(1+t^2)} \, d\lambda$$ y intercambiando el orden de integración...

Answer 2

La primera asume que el $k\gt0$.

Después del cambio de variables que Chappers menciona, podemos evaluar el resultado de la integral utilizando el contorno de $\gamma=[-R,R]\cup Re^{i[0,\pi]}$ $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ikt}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t &=\int_\gamma\frac{e^{ikz}}{1+z^2}\,\mathrm{d}z\tag{1}\\ &=\int_\gamma\frac1{2i}\left(\frac1{z-i}\color{#A0A0A0}{-\frac1{z+i}}\right)e^{ikz}\,\mathrm{d}z\tag{2}\\[3pt] &=\frac{2\pi i}{2i}e^{-k}\tag{3}\\[9pt] &=\pi e^{-k}\tag{4} \end{align}$$ Explicación:
$(1)$: la integral a lo largo de $Re^{i[0,\pi]}$ desvanece como $R\to\infty$
$(2)$: uso parcial de las fracciones y se nota que la singularidad en $z=-i$ está fuera de $\gamma$
$(3)$: el residuo de $\frac{e^{ikz}}{z-i}$ $z=i$ $e^{-k}$
$(4)$: simplificación

Siguiente, tenga en cuenta que la integral es incluso en $k$. Por lo tanto, para $k\in\mathbb{R}$, $$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tic'}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=\pi e^{-|k|}$$