Si $v$ es un autovalor de a $A$ $c$ es un autovalor de a $B$ debe $vc$ ser un autovalor de a $AB$?

Question

Deje $v$ ser un autovalor de a $A$ $c$ ser un autovalor de a $B$. Es el producto de $v$$c$, equivalente a un autovalor de a $AB$?

Answer 1

Sugerencia: Hay matrices $A$$B$, cada una de ellas tiene distinto de cero autovalores, que $AB=0$.

Si necesita una sugerencia de tales matrices, puede puntero del ratón sobre el área gris de abajo.

Sugerencia: Deje $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.

Answer 2

$$ \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}, $$ pero mientras que $1$ $-1$ son claramente autovalores tanto de las matrices de la izquierda, la matriz de la derecha no tiene ningún autovalores (a través de los números reales).

Answer 3

Aquí es un simple razonamiento teórico que la respuesta es no:

Pick $A,B$ a ser matrices, cada uno de ellos tiene exactamente $n$ distintos autovalores. A continuación, los productos de autovalores de a $A,B$ puede tomar $n^2$ valores distintos, y es fácil construir ejemplos en los que los productos son de a pares distintos. Pero $AB$ sólo puede tener $n$ autovalores....

Answer 4

$1$ es un autovalor de $ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\\ \end{pmatrix},$ $3$ es un autovalor de $ \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3\\ \end{pmatrix}$ pero $3$ es no un autovalor de $ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 6\\ \end{pmatrix}.$

Answer 5

Considere las siguientes matrices $$ A=\left( \matriz{1&-1\\0&0}\right)\qquad B=\left( \matriz{0&1\\0&1}\right) $$ y buscar un contraejemplo.

Nota: no tengo idea de por qué no directamente conjunto de todos los fuera de la diagonal de coeficientes de a $0$. Hágalo usted mismo mientras lo dejo como esta para el auto-castigo, de un (inútil) no diagonal ejemplo.