Me gustaría alguna ayuda para hacer este argumento completo y riguroso (si es correcta, si no, ayudar con eso sería bueno).
Aquí $k$ es un campo.
Deje $A_1,\ldots,A_n \subseteq k$ ser infinitos subconjuntos. Entonces cualquier polinomio en $k[x_1,\ldots,x_n]$ que se desvanece en $A_1\times\cdots\times A_n\subseteq k^n$ debe $0$ (como un polinomio).
Esto es lo que tengo ...
Para el caso de $n=1$, que no es un polinomio constante sólo puede tener tantas raíces como su grado, y, en particular, debe tener un número finito de raíces. El único polinomio en una variable que tiene un número infinito de raíces es $0$, por lo que si un polinomio en $k[x_1,\ldots,x_n]$ se desvanece en un subconjunto infinito, entonces debe ser $0$.
Para el paso inductivo, supongamos que la proposición es verdadera para menos de $n$ subconjuntos y variables. Deje $p\in k[x_1,\ldots,x_n]$ desaparecen en $A_1\times\cdots\times A_n$. Fix $x_n$ algunos $a\in A_n$, y tenemos un polinomio en $n-1$ variables que se desvanece en el set $A_1\times\cdots\times A_{n-1}$, de modo que por la hipótesis inductiva debe ser idéntica $0$. (Ahora se pone de boceto). Como esto es cierto para cualquiera de los infinitos valores en $A_n$, $p$ debe $0$.
