Deje $X$ $Y$ grupos, parece natural para mí que una correcta función (homomorphism) $\phi$ $X$ $Y$tiene esta propiedad que $\phi \subset X \times Y$ es un subgrupo. Es allí una manera de definir las funciones continuas del mismo modo?
Respuestas
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Si se restringen a compacto Hausdorff espacios, esto funciona muy bien. En primer lugar, tenga en cuenta que si $X$ es un compacto Hausdorff espacio, un "sub-compacto Hausdorff espacio" de $X$ es un subespacio cerrado de $X$ (cerrado ya que se necesita para ser compacto; tenga en cuenta también que estos corresponden a monomorphisms en el sentido de la categoría de la teoría). Entonces se cumple lo siguiente: una función de $\phi:X\to Y$ entre el compacto de Hausdorff espacios es continua si su gráfica $\Gamma\subseteq X\times Y$ es cerrado (es decir, si su gráfica es una sub-compacto Hausdorff espacio).
Para demostrar esto, en primer lugar supongamos $\phi$ es continua. A continuación, $\Gamma$ es la imagen de un mapa continuo $X\to X\times Y$ (es decir, $x\mapsto(x,\phi(x))$), y así es compacta desde $X$ es compacto, y por lo tanto está cerrado desde $X\times Y$ es de Hausdorff. Por el contrario, si $\Gamma$ es cerrado, entonces es compacto, por lo que la proyección de $\Gamma\to X$ debe ser un homeomorphism, ya que es un continuo bijection de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff. Desde $\phi$ es la composición de la inversa de este bijection con la proyección de $\Gamma\to Y$, se deduce que el $\phi$ es continua.
Tenga en cuenta que esto rompe general de los espacios. Por ejemplo, si $X=Y$ no es Hausdorff, entonces el mapa de identidad $X\to X$ es continua, pero su gráfica no está cerrado (la diagonal en $X\times X$ es cerrado iff $X$ es Hausdorff). Y si $Y$ es discreto y $X$$T_1$, después de cualquier inyección $X\to Y$ ha cerrado gráfico, pero dicha inyección no es continuo, a menos que $X$ es también discreta. En general, como Capitán del Lama respuesta discute, usted necesita requerir directamente que la proyección de $\Gamma\to X$ es un homeomorphism, que no puede ser traducido a decir $\Gamma$ es algún tipo especial de subespacio de $X\times Y$ sin hacer referencia a los mapas de proyección.
Mucho más en general, si usted tiene cualquier mónada $T$ en la categoría de conjuntos y $X$ $Y$ $T$- álgebras, una función de $\phi:X\to Y$ entre el subyacente es un homomorphism iff su gráfica es una subalgebra de $X\times Y$ (la prueba es sencilla una vez que usted escriba lo que todas las palabras realmente significan). Es un trivial teorema de que la categoría de compactos de Hausdorff espacios pueden ser considerados como las álgebras de más de una mónada en conjuntos, y la caracterización de la continuidad de los compactos de Hausdorff espacios dada anteriormente de la siguiente manera.
Para algunos relacionados con la discusión, usted puede estar interesado en esta respuesta de mina en MathOverflow, que explora estas ideas en el contexto de la definición de lo que significaría para varios valores de la función (es decir, una relación) a ser continua.
Captain Lama
Puntos
563
La cosa es, usted no puede tomar cualquier subgrupo $G\subset X\times Y$. Tiene que satisfacer a que la primera proyección da un isomorfismo $G\to X$. En la categoría de grupos, siendo un isomorfismo es lo mismo que ser bijective, así que usted puede ordenar de definir los morfismos de esa manera sólo saber acerca de las funciones.
Pero para espacios topológicos, la gráfica de una función continua $X\to Y$ tiene que satisfacer a que la primera proyección de una homeomorphism. Así que si quieres definir funciones continuas de esa manera, usted tiene que saber acerca de los productos, subespacios y homeomorphisms.
Pero sí, si usted sabe acerca de estos, se puede definir una función continua como un subespacio del producto, que el puño de proyección induce un homeomorphism, desde luego, de $\Gamma_f\subset X\times Y$ $f(x) = \pi_2(\pi_1^{-1}(x))$ continuo donde $\pi_i$ son las dos proyecciones se $X\times Y\to X,Y$, e $\pi_1^{-1}:X\to \Gamma_f$ es la inversa de a $\pi_1:\Gamma_f\to X$.
