Cómo solucionar $4^x+\sin(x)=10$

Question

$$4^x+\sin(x)=10$$

Me gustaría utilizar una función de registro para solucionar el problema, pero no sé qué hacer con $\sin(x)$. ¿Cuál es el $x$ valor del exponente?

Answer 1

se puede resolver numéricamente(prueba y error) después de tomar la $\log$ $$x=\frac{\log(10-\sin x)}{\log 4}$$ si desea que la forma cerrada, se convertirá en $$x=\frac{\log(10-\sin \frac{\log(10-\sin \frac{\log(10-\sin .....)}{\log 4})}{\log 4})}{\log 4}$$

Answer 2

Reordenar para obtener $$x=\frac{\log(10-\sin x)}{\log 4}$$ as in Essam's answer. After that, you can use fixpoint iteration to get $x = 1.585\dotso$

Fijar punto de la iteración es: $$x_n = \frac{\log(10-\sin x_{n-1})}{\log 4}$$

Ahora, curiosamente, se puede obtener una muy precisa de la solución aproximada que es$\dfrac{\log 3} {\log 2} \approx 1.585\dotso$, lo que termina siendo fiel a 5 seg.f. Esto es debido a que si lo hacemos de la iteración de punto fijo de partida con $x_1 = \pi/2$, consigue $x_2 = \dfrac{\log 3} {\log 2}$ que ya es por casualidad cerca de $\pi/2 \approx 1.57$.

Por lo $$x \approx \dfrac{\log 3}{\log 2} \approx \dfrac \pi 2$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $f^{\prime}(x)=4^{x} \log(4)+\cos(x)$. De modo que podemos obtener una secuencia convergente con el de Newton-Raphson algoritmo.

$$x_i=x_{i-1}-\frac{f(x_{i-1})}{f^{\prime}(x_{i-1})}$$

Y aquí está el implentation en R.

    x0<-1
    for(i in 1:100){
    f<-4^{x0}+sin(x0)-10
    fprime<-4^{x0}*log(4)+cos(x0)
    x0<-x0-f/fprime
    }
    x0
[1] 1.584971

El algoritmo funciona bastante bien para tales problemas y usted incluso no necesita el 100 iteraciones que he utilizado. 3-4 es lo suficientemente bueno para este problema.

Answer 4

Si miramos el gráfico de la función $$f(x)=4^x+\sin(x)-10$$ debe tener en cuenta que está lejos de ser lineal; por lo tanto, encontrar el cero a requerir más o menos iteraciones en función de la calidad de la suposición de arranque.

En el otro lado, tomar logaritmos y considerar la posibilidad de encontrar el cero de $$g(x)=x \log(4)-\log\big(10-\sin(x)\big)$$ This function is very linear. For a first estimate, expand $g(x)$ as a Taylor series around $x=0$ (being lazy as I am); this gives $$g(x)=-\log (10)+x \left(\frac{1}{10}+\log (4)\right)+O\left(x^2\right)$$ So, solving the approximation for $x$ gives $$x_0=\frac{10 \log (10)}{1+10 \log (4)}\approx 1.549212022$$ Now, let us start Newton method $$g'(x)=\frac{\cos (x)}{10-\sin (x)}+\log (4)$$ and the iterates will be $$x_1=1.584919403$$ $$x_2=1.584970552$$ cual es la solución para las diez cifras significativas.

Si, por el contrario, la expansión fue hecho en $x=\frac \pi 2$, habría sido $$g(x)=(\pi \log (2)-\log (9))+\left(x-\frac{\pi }{2}\right) \log (4)+O\left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2\right)$$ from which $$x_0=\frac{\log (3)}{\log (2)}\approx 1.584962501$$ and the first iterate of Newton method would the be $$x_1=1.584970552$$

Si, construido en $x=\frac \pi 2$, la expansión que se usa un término más $$g(x)=(\pi \log (2)-\log (9))+\left(x-\frac{\pi }{2}\right) \log (4)-\frac{1}{18} \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^3\right)$$ solving the quadratic would give $$x_0=\frac{\pi }{2}+9 \log (4)-3 \sqrt{\log (4) (\pi +9 \log (4))-2 \log (9)}\approx 1.584970552$$

Answer 5

Encontrar una solución exacta mediante un método numérico como el de Newton no es gran cosa (cualquier moderno de la calculadora lo hace por ti). El verdadero problema con tales trascendental ecuaciones es contar y aislar las raíces.

En este caso en particular, gracias a el acotamiento de la función seno, se puede afirmar que para cualquier solución de $x$, $$9\le4^x\le11$$o $$\log_4(9)\le x\le\log_4(11).$$

Por la continuidad sin duda hay una solución, como

$$4^{\log_4(9)}+\sin(\log_4(9))\le10\le4^{\log_4(11)}+\sin(\log_4(11)).$$

La derivada de la función es $$f'(x)=\ln(4)4^x+\cos(x),$$ y en el rango dado, usted está seguro de que $$9\ln(4)-1\le f'(x).$$ Como la función es estrictamente creciente, esto demuestra una única raíz real.