Algunas bases de problemas geométricos muy básicos

Question

Estoy estudiando geometría riemanniana y tengo algunos conocimientos muy básicos de geometría diferencial.En geometría diferencial, sólo sé de cosa en $\mathbb{R}^3 $ o $\mathbb{R}^2$ Cuando se trata de un espacio abstracto, mis libros utilizan $\dfrac{\partial}{\partial x_i} $ y $dx_i$ para denotar la base del espacio tangente y el espacio cotangente.

No sé cuál es el significado de $\dfrac{\partial}{\partial x_i} $ porque creo que es un operador diferencial y no un elemento de base, ¿qué significa $\dfrac{\partial}{\partial x_i} $ en algún momento $p$ ? ¿Puedo tener algún libro o material de referencia para esto tan básico? Muchas gracias

Answer 1

Es cierto que $\frac{\partial}{\partial x_i}$ es un operador diferencial, pero en el entorno de las variedades lisas abstractas, los vectores tangentes suelen ser definido como operadores diferenciales. Esta es una técnica estándar que se puede encontrar en cualquier libro de geometría diferencial de nivel universitario, como el libro de John Lee Introducción a los colectores suaves .

También puedes encontrar muchas preguntas en este sitio que explican por qué definimos los vectores tangentes de esta manera. Véase, por ejemplo, "¿Por qué pensamos que un vector es lo mismo que un operador diferencial?"

Answer 2

En los espacios $\Bbb R^2$ o $\Bbb R^3$ cosas como $\frac{\partial}{\partial x^i}$ se interpretan como un mecanismo para responder a cómo una función escalar $f:\Omega\to\Bbb R$ cambia o varía, mediante el cálculo de $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ y evaluando en un punto $\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)$ para obtener esa información. Aquí $\Omega$ es un subconjunto en $\Bbb R^2$ o $\Bbb R^3$ .