La prueba de Spivak de que todo polinomio de grado impar tiene una raíz

Question

Tengo la segunda edición de Spivak. Considere

¿Puede alguien decirme por qué considera $2n|a_{n-1}| \dots$ ? Más tarde muestra que todo se aprieta entre -1/2 y 1/2 y obtiene el resultado deseado. Estoy perplejo en cuanto a por qué $2n$ ? Podría haberlo hecho con $n$ y que funcionaría.

Además, nunca consideró el caso de $|x| < 1$ ¿Qué pasa entonces?

EDITAR : En otro orden de cosas, ¿por qué escribe $|x| > 1, 2n|a_{n-1}| \dots$ en lugar de limitarse a escribir $|x| > \max \{1, 2n|a_{n-1}|, \dots \}$ ?

EDIT2 Lo que es más interesante es que asume que $\dfrac{|a_{n-k}|}{|x|} < \dfrac{|a_{n-k}|}{2n|a_{n-k}|}$ . ¿Hay alguna razón por la que no será justo $\dfrac{|a_{n-k}|}{|x|} < |a_{n-k}|$ y por qué considera siquiera $|x| > 1$ por qué no $|x| > 0$ ?

Answer 1

No se trata sólo de garantizar que $|1+\sum_{k=1}^{n}a_{n-k}/x^k|$ es positivo pero que en realidad está acotado lejos de cero, independientemente de $x$ . En realidad, el factor $2$ es exagerado, pero hace que el análisis sea rápido y fácil. El comentario de Harald responde a tu segunda pregunta.

Editar: (En respuesta a la consulta del OP) Sí, es suficiente con tomar $x\ge n|a_k|+\varepsilon\;(k=1,\dots,n)$ junto con $x>1$ , donde $\varepsilon>0$ es independiente de $x$ . Entonces el factor multiplicador $|1+\sum_{k=1}^{n}a_{n-k}/x^k|$ supera una constante, que puede escribirse en términos de $\varepsilon$ y el $a_k$ , lo que puede considerarse positivo. Pero para qué molestarse cuando se puede escribir $\frac12$ ?