$x^5 + 3x^2 - 7x - 1$ irreductible en $\mathbb{R}[x]$?

Question

Estoy tratando de determinar si $x^5 + 3x^2 - 7x - 1$ irreductible en $\mathbb{R}[x]$

No tiene evidentes raíces racionales.

No podemos aplicar Eisentstein del criterio que no es $p$ que divide $-1, 3$$7$.

No estamos tratando con $\mathbb{Z}[x]$ por lo que no se puede definir homomorphisms a $\mathbb{Z}_p[x]$ y comprueba que los factores en los anillos tienen los mismos grados.

Entonces, ¿qué otra cosa puedo hacer para ver si es irreducible, o no?

Answer 1

Supongamos $p(x)$ es un monic polinomio de grado $n \geq 1$ con coeficientes reales. Entonces, como ustedes saben, tenemos una factorización $$ p(x) = (x - \lambda_1) (x- \lambda_2) \cdots (x- \lambda_n) $$ donde $\lambda_i \in \mathbb{C}$ por cada $i$. Vamos a la barra de denotar compleja conjugación. Desde $p(x)$ ha coeficientes reales, sabemos $\overline{p(x)} = p(\overline{x})$. Sin embargo, $$ p( \overline{x} ) = (\overline{x} - \lambda_1) (\overline{x}- \lambda_2) \cdots (\overline{x}- \lambda_n) $$ nos muestra, para cada una de las $i$,$p(\overline{\lambda_i})=0$. En otras palabras, si un polinomio tiene coeficientes reales, entonces sus raíces vienen en el conjugado parejas, donde las raíces reales se consideran auto-conjugado. Este clásico de resultados en álgebra básica es a veces llamada la conjugada de la raíz teorema.

De ello se sigue que la única monic irreducibles sobre $\mathbb{R}$

• $x-a$ donde $a$ es cualquier número real
• $(x-a)^2 + b^2$ donde $a$ es cualquier número real y $b$ es un número real distinto de cero.

Desde su polinomio no está en esta lista, es reducible a un producto de factores en esta lista. Bosquejos, vemos que tiene tres raíces, por lo que es el producto de tres factores lineales y cuadráticos irreducibles.

Esto se espera como fondo de conocimientos en un curso de estudio de álgebra abstracta, como normalmente se necesita mucho antes de entonces. (Por ejemplo, en álgebra lineal, la búsqueda de si hay verdaderos valores propios de un mínimo de un polinomio.) Es probable que haya algo que se escapó de su mente. A veces tenemos visión de túnel :)

Answer 2

Nota: Si $p(x)\in \Bbb R[x]$$\deg{(p(x))}>2$, $p(x)$ es reducible en $\Bbb R[x]$.

Prueba. Deje $p(x)\in\Bbb R[x]$ ser tal que $\deg{(p(x))}>2$ y supongamos que es irreducible sobre $\Bbb R[x]$. Necesariamente todas sus raíces son complejas y $[\Bbb R(\alpha)\colon \Bbb R]=\deg{(p(x))}>2$ donde $\alpha$ es una raíz de $p(x)$.
Desde $\Bbb R(\alpha)\subseteq \Bbb C$ se sigue que $[\Bbb C\colon \Bbb R]>2$. Esto contradice el hecho de que $\Bbb C=\Bbb R(i)$$[\Bbb R(i)\colon \Bbb R]=2$.