Pregunta acerca de la continuidad de la propiedad de una función en un espacio vectorial topológico

Question

Estoy leyendo el Análisis Funcional libro de Walter Rudin, y hay un punto en este libro que no sé por qué dice eso. Aquí está la declaración:

$f$ es un mapeo lineal de F-espacio de $X$ en un espacio vectorial topológico $Y$ tal que para cada vecindario $W$$0$$Y$, existen vecindario $V$ $0$ $X$ tal que $f(V) \subset \overline{W}$. A continuación, $f$ es continua.

Si $f$ satisfacer la condición de $f(V) \subset W$, entonces es trivialmente cierto debido a la definición de continuidad y lineal de la propiedad. Pero con el cierre en el lado derecho, no sé por qué. Alguien me puede ayudar a aclarar esto. Muchas gracias.

Answer 1

Utilizando el Teorema 1.11, Si $\mathscr{B}$ es una base para un espacio vectorial topológico $X$, entonces cada miembro de $\mathscr{B}$ contiene el cierre de algunos de los miembros de $\mathscr{B}$, se obtiene que un espacio vectorial topológico es regular/a $T_3$ espacio.

Dado cualquier barrio de $U$$0$$Y$, elija un barrio de $W$ $0$ $\overline{W}\subset U$ 1.11. Entonces existe una vecindad $V$ $0$ $X$ $f(V) \subset \overline{W}\subset U$ por hipótesis, por lo tanto $f^{-1}(U)$ contiene una vecindad de a$0$$X$, $f$ es continua en a $0$.

Que tiene para todos los espacios vectoriales topológicos, $F$-espacio o no.