Buscando un bijective la nada-función continua ${\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$

Question

¿Existe un bijective función de $f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ que es la nada-continuo, asumiendo que tanto el dominio y rango de la norma "topología"? ¹

_{¹ Por esto, me refiero a la generada por el open intervalos de $(a, b) \subset {\mathrm R}$. Por CIERTO, si esta topología tiene un nombre más fácilmente reconocido que el estándar de la topología (en ${\mathbb R}$), por favor, tirar de mí un comentario!}

EDIT: la versión original de esta pregunta admite la posibilidad de que $f$ ser sólo inyectiva, pero poco después me envió el siguiente función inyectiva vino a la mente: vamos a $n:{\mathbb Q}\rightarrow {\mathbb N}$ ser un orden de los racionales, y definir

$$f(x)=\begin{cases} n(x) & x\in\mathbb Q\\ x& x\notin\mathbb Q\end{cases}$$

Es claro que esta $f$ es inyectiva, y a mí me parece que la prueba de la nada-la continuidad de la función de Dirichlet se aplica a este caso.

EDIT2: VALE, yo era el siguiente va a intentar modificar el candidato de arriba para hacer la función de bijective, pero Asaf Karagila llegó primero, con un mucho más elegante solución de lo que fue encabezado por...

Answer 1

Cómo acerca de: $$f(x)=\begin{cases} x+1 & x\in\mathbb Q\\ x& x\notin\mathbb Q\end{cases}$$

Answer 2

Esta función debe trabajar.

$ f(x) = \begin{cases} x & \text{if x $\in \mathbf{Q}$ and $x \neq 0$} \\ -x & \text{si x $\in \mathbf{R-Q}$}\\ \sqrt{2} & \text{si $ x = 0 $} \end{casos}$

Usted puede encontrar más counterexaples de este tipo en "Contraejemplos en el análisis" por Gelbaum y Holmsted.

Por cierto, que yo sepa, el estándar de la topología en $\mathbf{R}^{n}$ es generalmente llamada "topología euclidiana"