Si $X_{1}, X_{2}, \ldots$ es un yo.yo.d. la secuencia, es la secuencia de sup independiente?

Question

Deje $X_{1}, X_{2}, \ldots$ ser una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias. Vamos \begin{align*} Y_{n} = \sup_{k\leq n} X_{k} \end{align*} Es la secuencia de las $\{Y_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia de independiente de variables aleatorias? Mi intuición es que no, pero ¿alguien puede aportar una prueba o contraejemplo?

Answer 1

Si $k\lt j$, entonces para cualquier $t\in\mathbb R$, $$\left\{Y_j\lt t\right\}\cap \left\{Y_k\geqslant t\right\}=\emptyset$$ pero si la distribución de los $X_1$ es no degenerado (es decir, $X_1$ no es casi seguramente igual a una constante), entonces podemos encontrar una $t$ tal que $\Pr\left(X_1\leqslant t\right)\notin\left\{0,1\right\}$, lo que muestra que los eventos de $\left\{Y_j\lt t\right\}$ $\left\{Y_k\geqslant t\right\}$ no son independientes.