Cómo mostrar que el siguiente proceso es un submartingale

Question

Supongamos que tenemos una filtración $(\mathcal{F}_t)$ la satisfacción de las condiciones habituales. Deje $W$ ser un Movimiento Browniano con respecto a la filtración. Definimos los dos procesos

$X_t:=W^2_t$ $Y_t:=\int_0^tX_sdX_s$

Entonces quiero probar:

1. $Y_t$ es un submartingale
2. $E[Y_t]=\frac{t^2}{2}$

Este es el ejercicio de un viejo examen. Hay dos sugerencias: Uso de Itô para escribir $X$ en el diferencial de la forma y reescribir $Y$ respectivamente. Y si $U$ es normal estándar distribuidos, entonces,$E[U^6]=15$.

El uso de Itô puedo escribir: $X_t=f(W_t)$$f(x)=x^2$. Por lo tanto Itô implica

$$dX_t=2W_tdW_t + dt $$

Por lo tanto,$Y_t=2\int_0^tW_s^3 dW_s + \int_0^tW_s^2ds$. Por desgracia no veo cómo proceder para las dos preguntas. Un poco de Ayuda sería apreciada.

saludos

matemáticas

Answer 1

Bien, usted sabe que la integral de Ito es una martingala, por lo que el $Y_t = M_t + \int_0^t W^2_s\mathrm ds$ y sólo tenemos que demostrar que la última integral es un submartingale. Por definición tenemos $$ \mathsf E\left[\left.\int_0^t W^2_s\mathrm ds\right|\mathscr F_u\right] = \mathsf E\left[\left.\int_0^t W^2_s\mathrm ds\right|\mathscr F_u\right] = \int_0^u W^2_s\mathrm ds + \mathsf E\left[\left.\int_u^t W^2_s\mathrm ds\right|\mathscr F_u\right] \geq \int_0^u W^2_s\mathrm ds $$ desde $\mathsf E\left[\left.\int_u^t W^2_s\mathrm ds\right|\mathscr F_u\right]\geq 0$ como parte integrante de un no-negativo de la función. Además tiene $$ \mathsf E[Y_t] = \mathsf E[M_t]+\mathsf E\left[\int_0^t W^2_s\mathrm ds\right] = 0+\int_0^t\mathsf E[W^2_s]\mathrm ds = \dots $$

Con el fin de abordar su punto acerca de la integrabilidad, considere la posibilidad de $$ \int_{[0,t]\times\Omega } |W^n|\mathrm d(\lambda\otimes \mathsf P). $$ Sabemos que incluso $n$ es finito, así que por extraño $n$ hemos $$ \int_{[0,t]\times\Omega } |W^n|\mathrm d(\lambda\otimes \mathsf P) = $$ $$ \int_{[0,t]\times\Omega } |W^n|\cdot1(|W^n|\leq 1)\mathrm d(\lambda\otimes \mathsf P)+\int_{[0,t]\times\Omega } |W^n|\cdot1(|W^n|>1)\mathrm d(\lambda\otimes \mathsf P) $$ $$ \leq t+\int_{[0,t]\times\Omega } |W^{n+1}|\cdot1(|W^n|>1)\mathrm d(\lambda\otimes \mathsf P) $$ $$ \leq t+\int_{[0,t]\times\Omega } |W^{n+1}|\mathrm d(\lambda\otimes \mathsf P)<\infty. $$