pueba de producto

Question

En mi Análisis Complejo de las clases yo estaba estudiando la Riemann zeta función. En algún momento de mi maestro fue capaz de demostrar la formula de esta manera:

"Supongamos que M y N son enteros positivos con M>N. Observar ahora que, por el teorema fundamental de arithmetc, cualquier entero positivo $n \le N$ puede escribirse de forma única como producto de números primos, y que cada uno de los prime que se produce en el producto debe ser menor o igual a N y repetido menor que M veces. Por lo tanto:"

$$\zeta(s)\le \prod_{p \le N} (1+p^{-s}+p^{-2}+...+p^{Ms}) \mbox{ (1)}$$ , p de los números primos.

Dejar que N tiende a infinito, tenemos:

$$\zeta(s)\le \prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}$$ Y luego, utilizando un argumento similar con el teorema fundamental de la aritmética:

$$\prod_{p \le N} (1+p^{-s}+p^{-2}+...+p^{Ms}) \le \zeta(s) \mbox{ (2)}$$ Y a la conclusión de que:

$$\zeta(s)=\prod_{s} (\frac{1}{1-p^{-s}})$$

Asumiendo $s$ real

Pero yo no soy la comprensión de cómo obtener las desigualdades (1) y (2). Puede alguien que me lo explique?

Answer 1

Siempre tengo problemas de entendimiento infinito producto de las pruebas. La prueba no está escrito con suficiente cuidado a mi gusto o no pasar suficiente tiempo tratando de entender por qué la prueba escrita es correcta. De todos modos, aquí es una alternativa a la prueba que te gustaría mejorar.

Para $\operatorname{Re}(s) > 1$, divide ambos lados de la ecuación de $\zeta(s) = \sum\limits_{n \geq 1} \frac{1}{n^s}$ $2^s$ conseguir $\frac{\zeta(s)}{2^s} = \sum\limits_{2 \mid n} \frac{1}{n^s}$. Restar la segunda ecuación de la primera. El lado izquierdo es $\zeta(s) - \frac{\zeta(s)}{2^s} = \zeta(s)(1 - \frac{1}{2^s})$. El lado derecho es la suma de todos los enteros impares:

$$\zeta(s)(1 - \frac{1}{2^s}) = \sum\limits_{2 \nmid n} \frac{1}{n^s}$$

Podemos hacer este tipo de cosas, porque la suma definición de $\zeta(s)$ es absolutamente convergente, lo cual significa que podemos reorganizar los términos a su antojo. Del mismo modo, si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por $(1 - \frac{1}{3^s})$, entonces tenemos

$$\zeta(s)(1 - \frac{1}{2^s})(1 - \frac{1}{3^s}) = \sum\limits_{2, 3 \nmid n} \frac{1}{n^s}$$

Si $p_1 < p_2 < \cdots$ son los números primos, entonces inductiva tenemos

$$\zeta(s) \prod\limits_{i=1}^N (1 - \frac{1}{p_i^s}) = \sum\limits_{p_1, ... , p_N \nmid n} \frac{1}{n^s}$$

El límite de $N$ va al infinito de la mano derecha existe y es igual a la suma de $\frac{1}{n^s}$ sobre todos los enteros positivos que no son divisibles por cualquier número primo. Solo hay un entero positivo:

$$\lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{p_1, ... , p_N \nmid n} \frac{1}{n^s} = 1$$

Por lo tanto

$$\lim\limits_{N \to \infty} \prod\limits_{i=1}^N (1 - \frac{1}{p_i^s}) = \prod\limits_{i=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{p_i^s})$$

existe como un límite. Hemos hecho uso de el simple hecho de que si $w, \alpha_n, \beta_n : n \in \mathbb N$ son números complejos con $w \alpha_n = \beta_n$ por cada $n$, y si $\beta = \lim\limits_n \beta_n$ existe y no es cero, entonces se $\alpha = \lim\limits_n \alpha_n$ también existe, $w \alpha = \beta$, e $w$ $\alpha$ son cero. Así

$$\zeta(s) \prod\limits_{i=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{p_i^s}) = 1$$

y, en particular, $\zeta(s) \neq 0$$\operatorname{Re}(s) > 1$. La misma prueba funciona con cualquier reordenamiento de los números primos, por lo que

$$\prod\limits_p (1 - \frac{1}{p^s})$$

está bien definido como un límite, independiente del orden en el que la toma del producto, con

$$\zeta(s) \prod\limits_p (1 - \frac{1}{p^s}) = 1$$

o

$$\prod\limits_p (1 - \frac{1}{p^s}) = \zeta(s)^{-1}$$

En cualquier convergente infinito producto de un valor distinto de cero términos cuyo límite es distinto de cero, podemos conmutar tomar recíproca con la toma de límites, porque $z \mapsto z^{-1}$ es continua en a $\mathbb{C} - 0$:

$$\zeta(s) = \prod\limits_p (1 - \frac{1}{p^s})^{-1}$$

Answer 2

Creo que el argumento es el siguiente: Vamos a $s>0$.

Fix $N>0$. A continuación, considere la posibilidad de $\sum^N_{n=1}n^{-s}$. A continuación, considere el producto $$\begin{align} \prod_{p-\text{prime}\leq N}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots \right) \end{align}$$ que, al expandirse, es una suma de los recíprocos de los números enteros elevado a la $s$ de la energía. Por lo tanto, tenemos las desigualdades $$\begin{align} \sum^N_{n=1}\frac{1}{n^s} \leq&\ \prod_{p-\text{prime}\leq N}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots \right) \leq \prod_{p-\text{prime}}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots \right) \\ =&\ \prod_{p-\text{prime}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}. \end{align}$$ Pero ya que este tiene para todos los $N$, entonces se sigue $$\begin{align} \zeta(s) \leq \prod_{p-\text{prime}}\left(1-\frac{1}{p^s} \right)^{-1}. \end{align}$$

El reverso de la desigualdad es trivial, ya que $$\begin{align} \prod_{p-\text{prime} \leq N}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots \right), \end{align}$$ cuando se expande, es una suma de los recíprocos de los números enteros elevado a la $s$ de la energía. Sin embargo, la observación clave aquí es que no de los enteros son similares. Por lo tanto, tenemos que $$\begin{align} \prod_{p-\text{prime} \leq N}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots \right) \leq \zeta(s) \end{align}$$ para todos los $N$. Tomar el límite, tenemos que $$\begin{align} \prod_{p-\text{prime}}\left(1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\ldots \right) \leq \zeta(s). \end{align}$$ Por lo tanto, tenemos la deseada igualdad.