Definiciones casi equivalentes de la integral de Riemann-Stieltjes

Question

A continuación, presentaré dos definiciones de la integral de Riemann-Stieltjes, la segunda de las cuales es más general. Mi pregunta se refiere a la relación entre estas dos definiciones.

Definición 1 : Dejemos que $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ . Para una partición $P=\{x_0, x_1,x_2 \cdots x_{n-1},x_n\}$ de $[a,b]$ , considere la suma $$S(P,f,g) \stackrel{\rm def}{=} \sum_{i=0}^{n-1} f(c_i) \left[g(x_{i+1}) - g(x_{i})\right]$$ donde tenemos "puntos de muestra" $c_i \in [x_i, x_{i+1}]$ .

$f$ se dice entonces que es integrable por Riemann-Stieltjes con respecto a $g$ si hay un número real $L$ con la siguiente propiedad: para todo $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que para cualquier partición $P$ con $\text{sup}_{{0\leq i \leq n-1}}(x_{i+1} - x_i) < \delta$ y cualquier secuencia de puntos $\{c_i\}_{{0\leq i \leq n-1}, c_i \in [x_i, x_{i+1}]}$ tenemos

$$\left|S(P,f,g) - L\right| < \epsilon$$

Definición 2 : Modificamos la definición anterior para que sea así: para todo $\epsilon>0$ hay partición $P_{\epsilon}$ de manera que cualquier refinamiento $P' \supset P_{\epsilon}$ satisface $$\left|S(P',f,g) - L\right| < \epsilon$$ independientemente de la secuencia de puntos $\{c_i\}_{{0\leq i \leq n-1}, c_i \in [x_i, x_{i+1}]}$ elegimos.

Nota: : La primera definición implica la segunda. Basta con dejar que $P_{\epsilon}$ sea cualquier partición con $\text{sup}_{{0\leq i \leq n-1}}(x_{i+1} - x_i) < \delta$ . Sin embargo, es interesante que la segunda definición no implica la primera. Tome

$$g(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0, \frac 12) \\ 1, & x \in [\frac 12, 1] \end{cases}$$

$$f(x) = \begin{cases} 0 & x \in [0, \frac 12] \\ 1, & x \in (\frac 12, 1] \end{cases}$$

como contraejemplo. Para este ejemplo, la integral existe y es igual a $0$ en el sentido de la segunda definición asegurando nuestra partición elegida $P{_\epsilon}$ es tal que $\frac 12 \in P_{\epsilon}$ . Esto asegura $g(x_{i+1}) - g(x_i) = 0$ excepto en el intervalo $[x_k, \frac 12]$ Sin embargo, este intervalo no afecta a la suma, ya que $f \equiv 0$ en $[x_k, \frac 12]$ .

Por el contrario, para la primera definición no necesitamos tener $\frac 12 \in P$ . $\frac 12$ puede estar en el interior de algún subintervalo $[x_i, x_{i+1}]$ (es decir., $x_i < \frac 12 < x_{i+1}$ ). Esto significaría que $g(x_{i+1}) - g(x_i) = 1$ y en función del "punto de muestreo" $c_i$ que elegimos en este subintervalo, la suma puede ser $1$ o $0$ . Esto puede ocurrir independientemente de lo fina que sea la partición, y por tanto la integral no existe.

El problema:

¿Hay alguna condición de regularidad que podamos imponer a $g$ ¿para garantizar la equivalencia de las definiciones anteriores? La monotonicidad estricta es un ejemplo natural. Si eso no funciona, considere condiciones más fuertes (por ejemplo $g$ es un homeomorfismo sobre su imagen, o un $C^{1}$ difeomorfismo).

Answer 1

Dependiendo de cómo se defina la integral de Riemann-Stieltjes (al menos las dos formas que mencionas) hay una variedad de condiciones conjuntas sobre el integrando $f$ y el integrador $g$ que garantizan la existencia. Existe un cierto solapamiento, pero no completo.

La integral de Riemann-Stieltjes es menos flexible que la integral de Riemann. Un impedimento es que la continuidad de $g$ entra en juego. Una función que es continua es integrable de Riemann y también lo es una que es discontinua sólo en un conjunto de medida cero. Tomando la definición (2), si el integrador es creciente, entonces si $f$ es continua, la integral de Riemann-Stieltjes existe, pero puede no existir si $f$ sólo es continua en casi todas partes. Esto se debe a que es necesario que el integrando y el integrador no tengan puntos comunes en los que sean discontinuos.

Algunas relaciones básicas (de las que tengo conocimiento) son:

La definición (1) es válida si y sólo si la definición (2) es válida para las integrales de Riemann donde $g(x) = x$ .

La definición (1) implica la definición (2) para las integrales de Riemann-Stieltjes cuando $f$ está acotado y $g$ está aumentando.

La definición (2) implica la definición (1) para las integrales de Riemann-Stieltjes cuando $g$ es creciente y $f$ o $g$ es continua. Has encontrado un contraejemplo si se relaja el requisito de continuidad.

Para demostrar la tercera implicación, consideremos primero que $f$ es continua y R-S integrable con respecto a $g$ según la definición (2). Entonces, para cualquier partición $P = (x_0,x_1, \ldots,x_n)$ y la elección de las etiquetas tenemos

$$\left|S(P,f,g) - \int_a^bf \, dg\right| = \left|\sum_{j=1}^n f(\xi_j)[g(x_j) - g(x_{j-1})] - \sum_{j=1}^n \int_{x_{j-1}}^{x_j}f \, dg\right|$$

Desde $f$ es continua podemos aplicar el teorema del valor medio integral para encontrar los puntos $\eta_j$ tal que

$$\left|S(P,f,g) - \int_a^bf \, dg\right| = \left|\sum_{j=1}^n [f(\xi_j)-f(\eta_j)]\,[g(x_j) - g(x_{j-1})] \right| \\ \leqslant \sum_{j=1}^n |f(\xi_j)-f(\eta_j)|\,[g(x_j) - g(x_{j-1})]. $$

Por la continuidad uniforme de $f$ para cualquier $\epsilon >0$ hay un $\delta > 0$ de manera que si $\|P\| < \delta$ entonces $|f(\xi_j)-f(\eta_j)| < \epsilon/(g(b) - g(a))$ y

$$\left|S(P,f,g) - \int_a^bf \, dg\right| < \epsilon.$$

Prueba de la implicación suponiendo que el integrador $g$ es continua, en lugar de $f$ es más largo. En resumen, elegimos una partición $P' =(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ tal que la suma superior $U(P',f,g)$ y la suma inferior $L(P',f,g)$ están dentro de $\epsilon/2$ de la integral. Utilizando la continuidad uniforme de $g$ encontramos $\delta >0$ tal que $|g(x) - g(y)| < \epsilon/(2nM)$ cuando $|x-y| < \delta$ , donde $M$ límites $f$ . Entonces una partición $P$ con $\|P\| < \delta$ se construye a través de un tedioso proceso tal que

$$\int_a^b f \, dg - \epsilon < L(P',f,g) < L(P,f,g) \leqslant S(P,f,g) \leqslant U(P,f,g) < U(P',f,g) < \int_a^b f \, dg + \epsilon. $$

Answer 2

Pedir que $f$ ser continua es suficiente. De hecho, todo lo que se necesita es que $f$ se deja continuo cuando $g$ es derecha-discontinua, y viceversa. Se trata de un ejercicio bastante fácil que puede realizarse considerando la diferencia entre los valores máximos y mínimos alcanzables al elegir puntos de muestra en una partición determinada. Como corolario de esto, $f$ debe ser continua cuando $g$ es discontinuo tanto a la izquierda como a la derecha.

Donde $g$ es continua, se puede demostrar fácilmente que $f$ se permite tener un número finito de discontinuidades. De hecho, mientras el conjunto de discontinuidades de $f$ es de medida cero (en el sentido de la medida de Lebesgue), la integral debería converger. Esta demostración es idéntica a la de la integral de Riemann.