Confundido acerca de la dimensión de círculo

Question

He confundido a mí mismo al pensar en el círculo:

Se puede parametrizarse como $$ C(t) = (\cos t , \sin t)$$

para $t \in [0,2\pi)$. Esto deja claro que el círculo es unidimensional. Pero entonces el círculo se define también por $x,y$ tal que

$$ x^2 + y^2 = 1$$

Si tratamos de resolver esta ecuación para $y$

$$ y = \pm \sqrt{1-x^2}$$

que no es una función! Pero si el círculo de hecho fue uno dimensional, entonces deberíamos ser capaces de escribir como

$$ (x,y(x))$$ lo cual parece imposible. Por lo tanto, el círculo no es unidimensional.

Por favor, ¿podría alguien ayudarme a resolver mi confusión?

Answer 1

El círculo es un colector y por lo tanto tenemos que comprobar la dimensión de la definición de un colector:

Un colector $M$ tiene dimensión $n$, cuando usted puede encontrar para cada punto de $p \in M$ un vecindario $U$ $p$ que hay un abrir $V \subseteq \mathbb R^n$ y un homeomorphism $f: U \rightarrow V$

Un homeomorphism es un bijective y función continua cuya inversa es también continua. Ahora toma el círculo. Se puede dividir en cuatro segmentos:

Archivo:Círculo con la superposición de colector de gráficos.svg por Usuario:KSmrq y Usuario:Pbroks13 con licencia en virtud de CC-BY-SA 3.0

Usted puede ver que cada segmento puede ser continuamente mapeados a un intervalo (es decir, un conjunto de $\mathbb R^1$). Así, la dimensión del colector es de 1. Ver también en esta sección.

Nota: sólo Se necesita una información para identificar a un punto del círculo de forma única. El ángulo de $\phi$ en polares. De esto también se puede ver, que la dimensión del círculo debe ser uno.