Demostrar que $X_{(n)}/n$ tiende a cero en la probabilidad

Question

Deje que se dé una muestra de la distribución de $F$ tal que $$ \lim\limits_{y \to \infty } y(1 - F(y) + F(-y)) = 0$$

Demostrar que $X_{(n)} / n \to 0$ en la probabilidad, donde $X_{(n)}$ es el fin de las estadísticas.

Mi intento de resolverlo $$ \mathbb{P}(|X_{(n)}/n| > \epsilon) = \mathbb{P}(|X_{(n)}| > n\epsilon) = 1 - \mathbb{P}(|X_{(n)}| < n\epsilon) = 1 - \mathbb{P}(-n\epsilon < X_{(n)} < n\epsilon) = 1 - \mathbb{P}(X_{(n)} < n\epsilon) + \mathbb{P}(X_{(n)} < -n\epsilon) = 1 - (F(n\epsilon))^n + (F(-n\epsilon))^n$$

Así que, tal vez de la declaración inicial puede ser de alguna manera deducir que el último tiende a cero.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que$ 0 \leq (F(-n\epsilon))^n \leq F(-n\epsilon) $$ lim_{n \to \infty} F(-n\epsilon) = 0 $. Por lo tanto, $ \lim_{n \to \infty} (F(-n\epsilon))^n = 0~~(1)$.

También, se observa que la $ \frac{n(F(n\epsilon) - 1)}{F(n\epsilon)} \leq n \log F(n\epsilon) \leq 0$, ya que el $ \log x\geq \frac{x-1}{x} ~~\forall x>0 $.

Por otra parte, $ 0 \leq n(1-F(n\epsilon)) \leq n(1- F(n\epsilon) + F(-n\epsilon)) $$ \lim_{n \to \infty} n(1- F(n\epsilon) + F(-n\epsilon)) = 0$.

Por lo tanto, $ \lim_{n\to \infty} n(1-F(n\epsilon)) = 0 \implies \lim_{n\to\infty} \frac{n(F(n\epsilon) - 1)}{F(n\epsilon)} = 0 $, ya que el $ \lim_{n\to \infty} F(n\epsilon) = 1$.

En consecuencia, $\lim_{n\to\infty} n \log F(n\epsilon) = 0 \implies \lim_{n\to\infty} (F(n\epsilon))^n = 1~~(2).$

Combinar $(1)~ \& ~(2)$ y listo.