núcleos de potencias de mapas lineales

Question

Digamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo y y $f : V \to V$ un mapa lineal. Existe un número entero $i$ tal que $\text{ker}(f^n) = \text{ker}(f^{n+1})$ para todos $n \geq i$ . Usted ve que al observar que $\text{ker}(f^n) \subseteq \text{ker}(f^{n+1})$ para todos $n$ y puesto que $V$ es de dimensión finita, deben estabilizarse en algún punto.

Tengo problemas para ver que para $n \leq s$ donde $s$ es el menor número entero $i$ más arriba, que $\text{ker}(f^n) \subsetneq \text{ker}(f^{n+1})$ . ¿Cómo puedo ver la contención adecuada?

Estoy bastante seguro de que la prueba es así: Si $n < s$ y $\text{ker}(f^{n-1}) = \text{ker}(f^{n})$ entonces $\text{ker}(f^j) = \text{ker}(f^{j+1})$ para todos $j \geq n$ contradiciendo que $s$ es el menor de dichos números enteros. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo? Gracias por vuestra ayuda.

Answer 1

Sea $K_i=\ker(f^i)$ . Supongamos que $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ y $K_n=K_{n+1}$ . Demostramos que $K_{n+1}=K_{n+2}$ . Evidentemente, esto demostrará su afirmación. Evidentemente, $K_{n+1}\subset K_{n+2}$ . A la inversa $a\in K_{n+2}$ y demostremos que $a\in K_{n+1}$ . Desde $a\in K_{n+2}$ entonces $0=f^{n+2}(a)=f^{n+1}(f(a))$ Por lo tanto $f(a)\in K_{n+1}=K_n$ . Por lo tanto $0=f^n(f(a))=f^{n+1}(a)$ Así que $a\in K_{n+1}$ .

Answer 2

Tiene razón sobre su prueba. ¿Cómo hacerlo?

Sólo utiliza el teorema de rango-nulidad muchas veces.

Tomo nota :

Si $ker(f^{n-1})=ker(f^n)$ utilizando el teorema de la nulidad : $$dim(im(f^{n}))=dim(V)-dim(ker(f^n))=dim(V)-dim(ker(f^{n-1}))=dim(im(f^{n-1}))$$ y el hecho de que $im(f^{n})$ se incluye en $im(f^{n-1})$ muestra que $im(f^{n-1})=im(f^{n})$ .

Entonces sabiendo que $im(f^{n+1})$ se incluye en $im(f^{n})$ , dejemos que $x$ estar en $im(f^{n})$ . Entonces existe $y\in V$ tal que $x=f^n(y)=f(f^{n-1}(y))$ y $f^{n-1}(y)\in im(f^{n-1})=im(f^{n})$ por lo que existe $z\in V$ tal que $f^{n-1}(y)=f^n(z)$ . Entonces $x=f(f^n(z))\in im(f^{n+1})$ .

Al tener ambas inclusiones : $im(f^{n+1})=im(f^{n})$ . Ahora usando el teorema de nulidad de rango : por inclusión e igualdad de dimensión $$\ker(f^{n+1})=\ker(f^{n}).$$

Esta es la inicialización de la inducción y de la misma manera se puede demostrar la igualdad de los núcleos hasta y llegando a $s$ .

¿Soy claro? Puedo dar más detalles.