valor medio de las propiedades de

Question

Deje $u$ ser una función continua en un conjunto abierto $U$ del plano complejo. Decimos que $u$ satisface el círculo significa que el valor de los bienes en un punto de $z_0\in U$ si $$ u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0+re^{i\theta})d\theta$$

para todos los $r$ suficientemente pequeño tal que el disco centrado en $z_0$ radio $r$> está contenida en $U$. Decimos que $u$ satisface el disco significa el valor de los bienes en un punto de $z_0$ si $$u(z_0)=\frac{1}{\pi r^2}\iint_{D(z_0,r)}u dxdy$$

Creo que las dos propiedades están relacionadas. En particular, me gustaría mostrar que la primera implica la segunda. Es esta una aplicación de Green Thm tal vez?

Answer 1

El círculo significa que el valor de la propiedad, de hecho, implica el disco significa el valor de la propiedad. Para ver esta suponer sin pérdida de generalidad que $z_0=0$ e introducir coordenadas polares $$\begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{casos} $$ Tenemos para el área del elemento de la fórmula $$dxdy=\rho d\rho d\theta ,$$ lo que significa que podemos escribir una integral en el disco como una superposición de integrales sobre los círculos: \begin{equation} \begin{split} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{D(r)}u(x+iy)\, dxdy&= \frac{1}{\pi r^2}\int_0^r\rho\, d\rho \int_0^{2\pi} u(\rho e^{i\theta})\, d\theta\\ &=\frac{2}{ r^2}\int_0^r \rho\,d\rho u(0)\\&=u(0). \end{split} \end{equation}