Conjunto de 4 anticommutative matrices

Question

¿Cómo usted va sobre la muestra que no puede haber un conjunto de cuatro, de 2 en 2 matrices que satisfacen la anticommutative relación $AB + BA = 0 $ o $2I$ si $A=B$? yo.e pedido mínimo tiene que ser de 4.

Yo sé que para tales matrices a, B, C y D (de orden 4), $A^2 = I$, $det(A) = +1$ o $-1$. También he tratado de escribir estas usando las propiedades de $a_{ij}$ notación y ver si algunos sin solución de ecuaciones vendría a cabo, sin éxito.

Solo necesita un toque para empezar, gracias.

Answer 1

No hay una respuesta fácil, de todos modos, para formalmente campos como el de los números reales. Asumir esto, y que $n\geq 4$.

Me hacen un amplio uso del hecho de que si $\{A_1,\dots,A_n\}$ es una colección de pares anticommuting cosas que cada cuadrado de identidad $I$,$(\sum\lambda_i A_i)^2=(\sum\lambda_i^2)I$.

Pretendemos que el $A_i$ son linealmente independientes. Supongamos que existe $\lambda_i$'s tal que $\sum\lambda_iA_i=0$. Cuadrado, nos encontramos con que $(\lambda_i^2)I=0$, pero esto implica que todos los $\lambda_i=0$, y por lo tanto el $A_i$ son linealmente independientes. Pero desde $M_2(F)$ es sólo de cuatro dimensiones, esto debe significar $n=4$ que son la base para $M_2(F)$.

Pero $M_2(F)$ tiene cosas que la plaza a cero, como $B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$. Puesto que el $A_i$ formulario de una base, usted puede encontrar los coeficientes tales que $\sum\alpha_iA_i=B$. Pero entonces el cuadrado de nuevo, nos encontramos con que todas las $\alpha_i$ son cero, por lo que el $B=0$, una contradicción.