Hay 40 hombres y 40 mujeres. De cuántas maneras se puede elegir un consejo de 31 de personas que tiene una mayoría de mujeres?
Yo estaba pensando - vamos a empezar con las mujeres. Hay $\binom{40}{16}$ formas de seleccionar a 16 mujeres (por lo que habrá más mujeres que hombres), y luego sólo tiene que elegir las otras 15 personas de todo el resto - $\binom{64}{15}$... Así que pensé que la respuesta sería : $\binom{40}{16}\cdot\binom{64}{15}$
pero parece ser que es incorrecta...
Por qué? Y por qué es la respuesta correcta $\frac{1}{2}\cdot\binom{80}{31}$?
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Dado que el número de hombres y mujeres es el mismo, y $31$ es impar, de todas las $\dbinom{80}{31}$ opciones de $31$ de personas de la $80$, exactamente la mitad tendrá una mayoría de hombres, y la mitad de una mayoría de mujeres.
Adenda Con su estimación, overcounting. Para considerar un caso más sencillo, supongamos que usted tiene sólo tres mujeres $W_{i}$ y tres hombres $M_{i}$, y tiene que seleccionar tres personas, de manera que las mujeres tienen la mayoría. A continuación, usted cuenta con la opción de $W_{1}, W_{2}, W_{3}$ tres veces.
Hagen von Eitzen
Puntos
171160
Podemos hacer uso de la simetría aquí: Supongamos para simplificar que el 40 hombres y 40 mujeres son, de hecho, el 40 parejas casadas. En cualquier subconjunto de 31 personas, no va a ser una mayoría de las mujeres o de la mayoría de los hombres (no puede haber un empate debido a que el 31 es impar). Ahora bien, si para cualquier subconjunto llevamos a cabo la operación "reemplazar todo el mundo con su cónyuge" nos dirigimos siempre de los hombres-la mayoría en una de las mujeres de la mayoría del conjunto y viceversa. Y haciendo la sustitución de dos veces siempre nos lleva de vuelta a el conjunto los que hemos empezado. Por lo tanto, los hombres de mayoría y las mujeres-la mayoría de los conjuntos de tamaño 31 están en bijection el uno con el otro, por lo tanto, del mismo tamaño, por lo ech hace la mitad del tamaño de la totalmente posible $40\choose 31$ subconjuntos de tamaño 31.
La razón por la que su intento no funciona: Usted pesa decisiones de manera diferente. En el caso extremo, cada grupo de 31 mujeres solo se tendrán en cuenta $31\choose 16$ veces porque ninguna de 16 subconjunto del grupo elegido mighg ser elegido en su primer paso.
