Muestran que el anillo cociente de una $\Bbb C$-álgebra por un ideal maximal es isomorfo a $\mathbb{C}$.

Question

Deje $R = \mathbb{C}[x_1,...,x_n]/I$ ser un cociente de un polinomio anillo de más de $\mathbb{C}$, y deje $M$ ser un ideal maximal de a $R$. ¿Cómo puedo demostrar que el cociente del anillo de $R/M$ es isomorfo a $\mathbb{C}$?

Así que uso el hecho de que $M$ es un ideal maximal de a $R$ si y sólo si $R/M$ es un campo. Obviamente $\mathbb{C}$ es un campo.

Cómo debo utilizar este teorema? Hilbert Nullstellensatz: es la máxima ideales del polinomio anillo de $\mathbb{C}[x_1,...x_n]$ están en bijective correspondencia con los puntos de complejo n-dimensional de avión. Un punto a a un punto en $\mathbb{C^n}$ corresponde al núcleo de una sustitución mapa que envía f(x) en $\mathbb{C}[x_1,...x_n]$ a f(a). el núcleo de este mapa es el ideal generado por lineal de polinomios con raíces que consta de los componentes de un

Answer 1

Esto se desprende de Zariski del lema, y el hecho de que $\mathbf C$ es algebraicamente cerrado.

Edit: Desde su edición, veo que la solución era más probable es que el proporcionado por Sammy, a continuación. Sin embargo, creo que esta prueba es la "correcta" de la prueba, porque es "independiente de las coordenadas".

Answer 2

Por el Entramado Teorema de Isomorfismo, un ideal maximal $M$ en el ring $R$ corresponde a un ideal maximal $M'$ $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ que contiene $I$. Específicamente, $$ M = M'/I. $$

En particular, $R / M \cong \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n] / M' \cong \mathbb{C}$.