Lo que determina si una serie no tiende a 0 lo suficientemente rápido?

Question

Cuando el examen de una serie p (ver más abajo), cualquier serie donde $p > 1$ se considera a converger. Sin embargo, la declaró serie con $p = 1$ diverge. La única explicación que he encontrado hasta ahora indica que la razón de esto es que la serie donde $p = 1$ "no tienden a $0$ lo suficientemente rápido". ¿Cómo se determina que la serie donde $p = 1$ no tiende hacia el $0$ con la rapidez suficiente para justificar la convergencia?

$$\sum_{n=1}^\infty {1\over n^p}$$

Answer 1

Lo tienes al revés. Sabemos que $\left\langle\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\rangle$ no tienden a $0$ lo suficientemente rápido como para la convergencia de la serie armónica , porque podemos probar que la serie armónica no convergen. En otras palabras, la falta de convergencia de la serie armónica es lo primero; la declaración de

$\left\langle\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\rangle$ no tienden a $0$ lo suficientemente rápido

es sólo una explicación intuitiva de que la falta de convergencia.

Answer 2

$$1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots \ge 1 + \frac12 + \underbrace{\frac14 + \frac14}_{\text{$2$ terms}} + \underbrace{\frac18 + \cdots + \frac18}_{\text{$4$ terms}}+\cdots \ge 1 + \frac12 + \frac12 + \frac12 + \cdots$$