Una desenfrenada poliedro convexo darse cuenta de los números primos?

Question

¿Existe una desenfrenada convexo poliedro con caras que se han 3, 5, 7, 11, 13, ... bordes, es decir, que el número de aristas de cada uno de cara a darse cuenta de exactamente los impares, números primos, con cada uno de los prime di cuenta de que exactamente una vez (es decir, no es sólo una cara con número de aristas)? Si es así, este puede ser logrado junto con los números primos realizado por caras adyacentes? Aquí es un comienzo. :-)
                

La actualización. Ahora responde negativamente por Ed Pegg! Para una pregunta relacionada, lo que hace tener una solución positiva, ver el MO pregunta, "Poliedros que combinatoria sombra de una secuencia": No es un poliedro cuyas sombras combinatoria imitar los números primos cuando el poliedro es, apropiadamente, de forma continua para reorientar.

Answer 1

Es imposible.

Considerar a los primeros 20 números primos, dando a 20 caras. Por Euler de la fórmula V=2+E-F

337 vértices = 2 + (Total@Prime[Intervalo[2, n]]/2) - (n - 2 + 1)

Ahora, considere el doble objeto, con 20 vértices. Un máximo triangularized poliedro con n vértices tiene 2v − 4 caras. O 2(20)-4=76 caras. No hay ninguna forma de apoyo 337 caras.

Como el número de números primos aumenta, el poliedro dual se hace cada vez más imposible. Considerar la adopción de un sector que cuenta con 500 establecieron caras. Esa división se iría a través de un mínimo de 206821 otras caras para el dual de este sector fuera de la pieza a ser posible. Tirando en dos caras más plenamente requiere que un mínimo de 1793 caras adicionales a cortarse.