Diferenciar con respecto a una función

Question

Tengo una pregunta sobre la diferenciación parcial de una función de $x,y$ con respecto a otra función de $x,y$ .

En concreto, me preguntaba si mi lógica o mi técnica serían válidas para la mayoría de las estuaciones.

$$ \begin{align*} \frac{\partial(x-y)}{\partial y} & = -1 \\ & = -1\cdot\frac{\partial f(x-y)}{\partial f(x-y)} \end{align*} $$

Entonces, multiplicando en cruz, obtenemos: $$ \begin{align*} \frac{\partial f(x-y)}{\partial (x-y)} = -1 \cdot \frac{\partial f(x-y)}{\partial y} \end{align*} $$

Mi técnica consistía en construir primero una derivada parcial con respecto a una variable, que era igual a una cantidad (resultaba ser un escalar en el ejemplo anterior). A continuación, multiplicaba por $1 = \frac{\partial f(x-y)}{\partial f(x-y)}$ . Entonces, reordené los términos.

¿Es una técnica válida? He mirado en mi libro de cálculo bajo derivadas parciales, bajo la regla de la cadena, y también he hecho una búsqueda general sobre derivada respecto a una función. No estoy seguro de si lo que estoy haciendo se relaciona estrechamente con el cálculo de variaciones.

Gracias.

Answer 1

Tu cálculo es correcto, pero dudo si llamarlo "técnica válida". Me explico un poco:

En el contexto en el que estás trabajando, tenemos una función $f(u)$ que es una función de una sola variable, y también $u(x,y) = x - y$ es una función de dos variables. En este caso, la regla de la cadena es la siguiente:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial x}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial y}$$

Desde $\frac{\partial u}{\partial y} = -1$ podemos concluir que $\frac{\partial f}{\partial y} = -1\cdot \frac{df}{du}$ y, por tanto, que $$\frac{df}{du} = -1\cdot \frac{\partial f}{\partial y},$$ que, en su notación (algo no estándar) se lee $\frac{\partial f(x-y)}{\partial (x-y)} = -1\cdot \frac{\partial f(x-y)}{\partial y}$ . Entonces, esta ecuación es cierta, sí.

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La razón por la que dudo en calificar tu método de "técnica válida" es porque normalmente no se pueden manipular los símbolos $\partial x$ y $\partial y$ como entidades independientes.

Por ejemplo, si $f$ fueran en cambio función de dos variables, digamos $f(u,v)$ donde ambos $u$ y $v$ fueran a su vez funciones de dos variables (digamos $u = u(x,y)$ y $v = v(x,y)$ ), la regla de la cadena sería

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.$$ Si te das cuenta, realmente no podemos interpretar el $\partial u$ y $\partial v$ signos como cancelar sin obtener identidades falsas como $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ejemplo divertido: Para que quede claro, consideremos la ley de los gases ideales (de la química) $PV = nRT$ donde $n$ y $R$ son constantes. Podemos considerar $P$ , $V$ y $T$ como funciones $$P = P(V,T) = nR\frac{T}{V}$$ $$V = V(P,T) = nR \frac{T}{P}$$ $$T = T(P,V) = \frac{1}{nR}PV.$$ Entonces se puede comprobar que, de hecho: $$\frac{\partial P}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial P} = -1.$$ Demasiado para cancelar.

Answer 2

En general, no es correcto utilizar la multiplicación cruzada para las derivadas parciales, ya que, a diferencia de las derivadas completas, no se representan como cocientes de formas diferenciales, por lo que $\frac{\partial}{\partial x}$ debe considerarse como un símbolo (un vector en realidad).

No estoy seguro de qué conexión con el cálculo de variaciones tenías en mente, sin embargo sólo hay un caso delicado que yo conozca en el que la derivada total y la parcial se enredan de una manera sutil. Es decir, la variación del funcional $$v[z(x,y)]=\iint_D F\left(x,y,z,p,q\right)dxdy$$ donde $p=\frac{\partial z}{\partial x}$ , $q=\frac{\partial z}{\partial x}$ resulta la siguiente expresión $$\delta v=\iint_D\left(F_z-\frac{\partial}{\partial x}\{F_p\}-\frac{\partial}{\partial y}\{F_q\}\right) \delta z dxdy$$ donde $\frac{\partial}{\partial x}\{F_p\}$ es la llamada "derivada parcial completa por x" (L.E. Elsgoltz, "Cálculo de variaciones", 1958). Significa que $y$ se considera constante, sin embargo la dependencia de $z$ , $p$ y $q$ en $x$ se tiene en cuenta. Lo que da como resultado la siguiente expresión $$\frac{\partial}{\partial x}\{F_p\}=F_{px}+F_{pz}\frac{\partial z}{\partial x}+F_{pp}\frac{\partial p}{\partial x}+F_{pq}\frac{\partial q}{\partial x}$$