Es $B^{-1}-A^{-1}$ una matriz positiva definida?

Question

Si $A$ $B$ son positivas definidas las matrices, y $A-B$ también es positiva definida, es $B^{-1}-A^{-1}$ necesariamente positiva definida?

Answer 1

Una más convencional de la prueba sería algo como esto: Vamos a $A^{1/2}$ ser un Hermitian raíz cuadrada de $A$ (una raíz cuadrada siempre existe: desde $A$ es positiva definida, puede ser unitarily diagonalized a $UDU^\ast$; ahora, tome $A^{1/2}=UD^{1/2}U^\ast$ donde $D^{1/2}$ es el entrywise raíz cuadrada positiva de la diagonal de la matriz $D$). Vamos a dejar que $\sim$ indica el $\phantom{}^\ast$congruencia ("estrella de congruencia") de la relación, es decir, $X\sim Y$ fib $X=P^\ast Y P$ para algunos es invertible (pero no necesariamente unitaria) de la matriz $P$. Tenga en cuenta que la certeza positiva se conserva en $\phantom{}^\ast$de congruencia. Es decir, si $X\sim Y$, $X$ es positiva definida si y sólo si $Y$ es positiva definida.

Deje $C = A^{-1/2}BA^{-1/2}$. A continuación, $C(\sim B)$ es positiva definida. Por lo tanto $C=W^\ast\Lambda W$ para algunos unitario de la matriz $W$ y algunos matriz diagonal $\Lambda$. Ahora, \begin{align} A-B &= A^{1/2} (I - A^{-1/2}BA^{-1/2}) A^{1/2}\\ &\sim I - C\\ &= W^\ast(I-\Lambda)W\\ &\sim I - \Lambda,\\ B^{-1} - A^{-1} &= A^{-1/2} (A^{1/2}B^{-1} A^{1/2} - I) A^{-1/2}\\ &\sim C^{-1} - I\\ &= W^\ast(\Lambda^{-1}-I)W\\ &\sim \Lambda^{-1} - I. \end{align} Así el problema se reduce a la especial y trivial caso de que $A=I$$B=\Lambda$.

En la de arriba, en realidad también hemos de demostrar la siguiente proposición, que se incluye en algunos libros de texto:

La proposición. Si $A$ es positiva definida y $B$ es Hermitian, entonces existe un nonsingular matriz $P$ tal que $P^\ast AP=I$ $P^\ast BP$ es diagonal.

Answer 2

Es cierto. Permítanme escribir $B\ge0$ si $B$ es positiva definida. En primer lugar, vamos a $B, C\ge0$ y considerar $$\begin{aligned} (B+C)^{-1}&=\bigl(B^{1/2}(I+B^{-1/2}CB^{-1/2})B^{1/2}\bigr)^{-1}\\ &=B^{-1/2}(I+B^{-1/2}CB^{-1/2})^{-1}B^{-1/2}\\ &=B^{-1/2}\sum_{n=0}^\infty(-B^{-1/2}CB^{-1/2})^nB^{-1/2}, \end{aligned}$$ que tiene si $C$ es lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, reemplace $C$ $tC$ y tomar la derivada en $t=0$ (sólo el $n=1$ plazo de toma parte): $$\left.\frac{d}{dt}(B+tC)^{-1}\right|_{t=0}=-B^{-1}CB^{-1}\le0.$$ Yo no podría haber hecho este cálculo en cualquier $t>0$, lo que en realidad $$\frac{d}{dt}(B+tC)^{-1}\le0.$$ La integración de esta de $t=0$ $t=1$rendimientos $(B+C)^{-1}\le B^{-1}$. Ahora vamos a $C=B-A$.