Cuaterniones son comúnmente utilizados para el modelo 4 sistemas de dimensiones donde los cuaterniones se compone de un verdadero vector de 3 dimensiones y de un imaginario escalar. Así que en la superficie de Cuaterniones parece muy adecuado para el modelo de espacio de tiempo si el tiempo puede ser considerado como imaginario. Hacer las operaciones de matemáticas de cuaterniones además de proporcionar un marco adecuado, o hay problemas?
Respuestas
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Hay algunos problemas con el uso de cuaterniones para describir el espacio-tiempo. Cuaterniones tienen dos propiedades importantes: (1) que forma una de cuatro dimensiones espacio vectorial; (2) puede multiplicar los cuaterniones juntos.[1] La primera propiedad es, obviamente, muy sugerente, pero no es diferente de la habitual de cuatro vectores que ya usamos en la relatividad especial. Específicamente para hacer uso de los cuaterniones, también tendríamos que utilizar la segunda propiedad. Recordar que-al menos en los ordinarios de los debates de la relatividad especial -- nunca vas a multiplicar cuatro vectores juntos y conseguir otro cuatro-vector; sólo "contrato" ellos (tome su producto escalar). Y el estándar de cuaterniones multiplicación en realidad no lograr este producto escalar. El escalar plazo en el resultado es algo así como el habitual intervalo de espacio-tiempo, pero luego son los componentes del vector. Usted puede obtener una pura escalar multiplicación de un quaternion por sí misma, sino sólo por la conjugación de una copia, que le da un positivo resultado definido, en lugar de en el intervalo. Así que no es muy útil para la teoría especial de la relatividad. Y tan lejos como vectores de ir, el enfoque usual es lo suficientemente bueno.
Incluso a pesar de que tiene cuatro grados de libertad, cuaterniones realmente "vivir en" un espacio físico de tres dimensiones. Resulta que los cuaterniones no debería ser considerado como un escalar, además de un vector. Por el contrario, debe ser considerado como un escalar, además de un bivector.[2] Más específicamente, los cuaterniones son en realidad los naturales "spinors" del espacio tridimensional. Así que en lugar de ser como vectores, que actúan sobre vectores. Por ejemplo, probablemente el uso más común para los cuaterniones es describir la rotación de los vectores. Hay que repetirlo: Cuaterniones no debería ser considerado como vectores en 4-d; ellos deben ser considerados como operadores que actúan sobre vectores en 3-d.
Así que para responder a tu pregunta, sí, usted podría utilizar cuaterniones para el modelo de espacio-tiempo-aunque había un montón de inútiles equipaje flotando alrededor. Pero la extrapolación de la motivación para tu pregunta, yo podría parafrasear como "¿Podemos utilizar las propiedades especiales de los cuaterniones para obtener cualquier ventaja computacional o una perspectiva filosófica en la relatividad?" Para eso, la respuesta es no; no tienen nada útil que decir sobre el espaciotiempo , ya que en realidad son sólo sobre el espacio.
Pero hay buenas noticias! Hay una generalización natural de los cuaterniones a cuatro dimensiones espacio-tiempo, y la verdad es que nos da computacional ventajas y filosóficos fundamentales. La cosa fresca sobre el pensamiento de cuaterniones como escalar + bivector es que la idea que ahora se generaliza fácilmente arbitraria de las dimensiones, y en particular para el espacio-tiempo de Minkowski. Este es un campo de estudio llamado "álgebra Geométrica", o GA para el corto.[3]
Spinors en 4 dimensiones[4] convertir en ley un montón como spinors en 3 dimensiones (cuaterniones). Por ejemplo, se puede usar para girar en 4 dimensiones de los vectores muy bien. Pero también pueden aumentar en 4-d de vectores tan fácilmente - un impulso es una especie de una generalizada de rotación. Resulta que un montón de las cosas habituales que hacemos en la teoría especial de la relatividad son la manera más fácil de usar spinors.
Y usted puede guardar el ir a otras dimensiones. Por ejemplo, volviendo a sólo dos dimensiones, se encuentra que los números complejos son los spinors de 2-d! Usted incluso comience a comprender las complejas álgebra mejor uso de GA. De hecho, yo he enseñado GA a los biólogos por partida en 2 dimensiones. Una vez que usted entienda este simple ejemplo, es casi trivial para extender GA arbitraria de las dimensiones.[5]
Si quieres aprender más, hay un libro fantástico sobre este llamado Álgebra Geométrica para los Físicos. Es realmente mi favorito de la física del libro, que se detenga por completo. Hay un montón de buenas referencias en línea demasiado, si buscas en google. Y tengo que conectar el Álgebra Geométrica del módulo de sympy, que nos da una buena (open-source) programa para hacer los cálculos de forma simbólica.
Notas a pie de página:
Tomados en conjunto, estos dos hechos no significa que los cuaterniones formulario de "álgebra". La idea puede parecer un poco raro -- que en realidad se puede multiplicar dos vectores por cada uno de los otros. Usted ya sabe cómo multiplicar un vector por un escalar. Y usted puede tomar el punto y la cruz de los productos, pero ninguno de esos es invertible. Pero realmente la multiplicación de dos vectores en un (por lo general) es invertible manera podría parecer extraño. Y entonces te das cuenta de que lo haces todo el tiempo con los números complejos, que también forman "un álgebra". Por no hablar de las matrices.
Se da la circunstancia de que en tres dimensiones, hay tres grados de libertad en un bivector, y de tres grados de libertad en un vector. Así que cuando Hamilton descubrió cuaterniones, estaba comprensiblemente confundido acerca de lo que representan. Su confusión era la razón por la que el vector/cuaterniones guerras de la década de 1890. Hoy en día, entendemos que los cuaterniones y vectores, y son sólo dos aspectos de la misma cosa: GA. Yo diría que esta confusión es una de las grandes tragedias en la historia de la física, como Grassmann y Clifford ya había desarrollado todas las herramientas necesarias para resolver el conflicto.
Podríamos discutir el nombre de esta cosa hasta que las vacas vienen casa. Pero en la práctica, "Álgebra Geométrica" es un sub-tipo de Álgebra de Clifford, excepto suponemos que en GA los coeficientes de nuestro espacio vectorial son números reales, mientras que el CA puede tener coeficientes de cualquier campo , especialmente de los números complejos. Pero CA se suelen introducir irrelevantes abstracciones, y el complejo versión casi nunca es necesaria para las aplicaciones en la física (incluso la mecánica cuántica!).
Spinors en 4-d son a veces llamados biquaternions, que son "complexified" cuaterniones, pero eso es un muy mal camino para ir hacia abajo. La complejización es unenlightening, y en realidad no se aplican a otras dimensiones. Creo que es sintomático de una tendencia a utilizar oscuro, accidental con características específicas para una determinada dimensión, en contraposición a la intuitiva, pedagógico, sistemático y enfoque universal de la GA.
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El camino que spinors y normativa de la división de álgebras (NDAs) tomamos juntos divide en dimensión cuatro, como el último de la cabeza en un callejón sin salida (no hay más NDAs después de octonions). El spinors en cuatro dimensiones tiene ocho grados de libertad, como la octonions, pero eso es sólo el espacio vectorial de propiedad. La otra propiedad de álgebras, multiplicación, no puede ser el mismo porque octonions no son asociativas -- pero la asociatividad es una de las características definitorias de la GA. Así que el octonions no son un ejemplo particular de la GA. Sin embargo, también vale la pena señalar que hay otros spinor grupos, incluso para las dimensiones ≤3 cuando usted tiene un no-positivo de la firma. Por ejemplo, el split-los números complejos son los spinors bidimensional de una versión del espacio de Minkowski.
Por supuesto, hay muy poca necesidad de octonions en la física. Juan Báez típicamente gran introducción a un artículo sobre octonions en la física que se puede leer aquí, en el que muestra que hay aplicaciones en la supersimetría / la teoría de las cuerdas (y pura matemática, obviamente). Pero ese es el argumento más convincente que he visto que octonions podría alguna vez tienen aplicaciones importantes en la física (y ciertamente no estoy convencido.
Waqleh
Puntos
118
Cuaterniones de hecho intrínsecamente modelo de espacio-tiempo.
Cuaterniones se derivan de los 4 cuadrados de identidad, descubierto por Leonhard Euler, es decir, que el producto de dos sumas de cada una de las cuatro plazas son siempre de nuevo una suma de cuatro cuadrados: ($X_0^2$ + $X_1^2$ + $X_2^2$ + $X_3^2$)($Y_0^2$ + $Y_1^2$ + $Y_2^2$ + $Y_3^2$) = ($Z_0^2$ + $Z_1^2$ + $Z_2^2$ + $Z_3^2$). ($Z_0$,$Z_1$,$Z_2$,$Z_3$) puede ser algebraicamente se expresa en términos de ($X_0$,$X_1$,$X_2$,$X_3$) y ($Y_0$,$Y_1$,$Y_2$,$Y_3$). Mediante la sustitución de $x_0$ = $X_0$; $x_1$ = $\hat iX_1$; $x_2$ = $\hat jX_2$; $x_3$ = $\hat kX_3$, y hacer lo mismo para $y_0$, $y_1$, $y_2$, $y_3$; así como para $z_0$, $z_1$, $z_2$, $z_3$;en $$\hat i^2 = \hat j^2 =\hat k^2 =\hat i\hat j\hat k = -1$$ we can construct a "tight" space wherein a complete vector product exists, i.e. wherein the length of the product of two vectors equals the product of the lengths of the vectors. This space has a metric signature ($+1,-1,-1,-1$), que es la firma del espacio-tiempo (en "west coast" notación). Cuaterniones espacio es un no-Euclidiana, espacio hiperbólico, en el que una velocidad máxima de propagación existe por parte de las asíntotas para el confinamiento de la hipérbola). De Poisson ecuación que describe el transporte de materia en un sistema conservador, se convierte en una ecuación de onda en cuaterniones espacio, debido a su negativa métrica de la firma ($+1,-1,-1,-1$). En su mayoría de forma general, esta ecuación de onda corresponde a la fundamentales de ecuaciones de la electrodinámica, es decir, las ecuaciones de Maxwell en su forma compacta, 4-dimensional forma. Las ecuaciones de Maxwell - a factores constantes de cerca - describir la geometría de las leyes de cuaterniones espacio. Como el transporte de materia en un espacio negativo en el sistema métrico ($+1,-1,-1,-1$) está siempre obligado a una ecuación de onda, también tenemos aquí las bases de la mecánica cuántica.
Recientemente he publicado un pequeño artículo al respecto en el "Bulletin de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles", Vol 103 (2014), pág. 83-90. El papel es titulado "De la réalité des nombres" y es en francés, es un poco más explícito que lo que yo he dicho aquí en pocas palabras.
