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La intuición por la relación entre el $xe^{-x^2}$ $\frac{1}{2}e^u$

Entiendo cómo hacer el cálculo aquí:

$$\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{0}e^{u}du = \frac{1}{2}$$

Pero no tengo la intuición de por qué el lado derecho del área bajo la curva de $y=xe^{-x^2}$ pasaría a ser exactamente la mitad el lado izquierdo del área bajo la curva de $y=e^x$. O, más en general, ¿por qué esta relación se tiene:

$$\int_a^b xe^{-x^2}dx = \frac12\int_{-b^2}^{-a^2} e^xdx$$

Para que quede claro, no estoy en absoluto confundido acerca de la computación en sí. Tengo que $u=-x^2$ y, a continuación, usted acaba de sustituir a todas las cosas correctas. Lo que estoy buscando es algo como un geométricas o de comportamiento intuición de por qué estas dos funciones ( $x \mapsto xe^{-x^2}$ $x \mapsto e^{x}$ ) tienen tan estrechamente relacionadas con las áreas bajo la curva.

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Permian Puntos 1785

Esto es sólo la integración por sustitución,

Deje $u=-x^2$, $du=-2x dx$ $\frac{-1}{2}du=x dx$

$$$$

$$ \int^b_a xe^{-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int e^{u} du $$

Ahora, $x=b \iff u=-b^2$$x=a \iff u=-a^2$, por lo que la integral se convierte en

$$\begin{align}\int^b_a xe^{-x^2}dx &= -\frac{1}{2}\int^{-b^2}_{-a^2} e^{u} du\\ &= \frac{1}{2}\int_{-b^2}^{-a^2} e^{u}du \end{align}$$

Para obtener la intuición, a considerar,a

$$\int_a^b xe^{-x^2}dx = \int_a^b \frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{2}e^{-x^2} \right) dx= \frac{-1}{2}e^{-x^2}|_a^b=\frac{-1}{2}(e^{-b^2}-e^{-a^2})$$

y $$\int_c^d e^xdx= e^x|_c^d=e^d-e^c$$

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