Entiendo cómo hacer el cálculo aquí:
$$\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{0}e^{u}du = \frac{1}{2}$$
Pero no tengo la intuición de por qué el lado derecho del área bajo la curva de $y=xe^{-x^2}$ pasaría a ser exactamente la mitad el lado izquierdo del área bajo la curva de $y=e^x$. O, más en general, ¿por qué esta relación se tiene:
$$\int_a^b xe^{-x^2}dx = \frac12\int_{-b^2}^{-a^2} e^xdx$$
Para que quede claro, no estoy en absoluto confundido acerca de la computación en sí. Tengo que $u=-x^2$ y, a continuación, usted acaba de sustituir a todas las cosas correctas. Lo que estoy buscando es algo como un geométricas o de comportamiento intuición de por qué estas dos funciones ( $x \mapsto xe^{-x^2}$ $x \mapsto e^{x}$ ) tienen tan estrechamente relacionadas con las áreas bajo la curva.