Considere el esquema de $X:=\mathrm{Spec}(k[X,Y]/(X^2,XY))$. De acuerdo a Qing Liu "la geometría Algebraica y aritmética de curvas", el irreductible componentes en $1-1$ correspondencia con subschemes de la forma $V(\mathcal{P})$ donde $\mathcal{P}$ es un mínimo el primer ideal de $k[X,Y]/(X^2,XY)$. Si entiendo correctamente, esto significa que $X$ tiene exactamente una componente irreducible, en particular la subscheme $V(X)$ (como cada primer contiene el ideal generado por a $X$). Es esto correcto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, su esquema de $X$ tiene exactamente una componente irreducible - es decir, es una irreductible esquema. Tenga en cuenta que un esquema afín $\operatorname{Spec} R$ es irreducible si y sólo si el nilradical de $R$ es primo. Aquí, el nilradical de $k[X,Y]/(X^2,XY)$ $(\overline{X})$ (donde $\overline{X}$ denota la imagen de $X$$k[X,Y]/(X^2,XY)$) y este es un excelente ideal desde $(k[X,Y]/(X^2,XY))/(\overline{X}) \cong k[Y]$. Sin embargo, usted debe tener cuidado de entender su afirmación de que "el subscheme $V(X)$" es el componente irreducible de $X$ correctamente.
Me explico. Hay una forma natural de ver $X$ cerrado subscheme de $\mathbb{A}_k^2 = \operatorname{Spec} k[X,Y]$. El conjunto subyacente de este subscheme contiene precisamente los que prime ideales $\mathfrak{p}$ $k[X,Y]$ tal que $\mathfrak{p} \supset (X^2,XY)$. Como A. P. del comentario a tu pregunta de la muestra, hemos $$ \mathfrak{p} \supset (X^2,XY) \Leftrightarrow \mathfrak{p} \supset (X) .$$ Se acostumbra a expresar esta escribiendo $$ V(X) = V(X^2,XY), $$ que está perfectamente bien siempre y cuando usted entienda esto como una igualdad de conjuntos sólo (por supuesto, el subespacio de la topología inducida por la topología de Zariski en $\mathbb{A}_k^2$ está de acuerdo, que es la razón por la que usted también podría ver la por encima de la igualdad como igualdad de espacios topológicos).
Sin embargo, a veces $V(X)$ no se utiliza para referirse a un subconjunto, pero para denotar un subscheme (y de la escritura "el subscheme $V(X)$" sugiere que) - aquí, que sería el esquema de $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X)$. Pero $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X^2,XY)$ $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X)$ son no isomorfos como esquemas. De hecho, hay un bijective correspondencia entre el cerrado subschemes de cualquier esquema afín $\operatorname{Spec} R$ y los ideales de $R$ -, pero, claramente, $(X^2, XY) \neq (X)$.
(Bueno, $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X)$ es [naturalmente isomorfo a] un cerrado subscheme de $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X^2,XY)$ y, estrictamente hablando, es cierto que $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X)$ es el componente irreducible de $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X^2,XY)$ debido a que el subyacente espacios topológicos de los dos esquemas de acuerdo. Pero, al menos para mí, esto parece más bien una extraña manera de afirmar que $\operatorname{Spec} k[X,Y]/(X^2,XY)$ es irreductible.)
--
Ahora me siento un poco tonto para escribir este pedante y probablemente superfluo comentario así que voy a añadir otro comentario que puede ser de más interés para usted: Mientras que el esquema de $X$ es irreductible, tiene una incrustado prime. Por esta razón, puede ayudar a comprender el "sentido geométrico" de los asociados de los números primos y primaria de la descomposición - en particular, en qué sentido se producen más refinado de la información de la descomposición en componentes irreducibles de.
