¿Cómo puedo mostrar estas dos métricas dar la misma topología?

Question

Esta pregunta surgió mientras se muestra la composición de una métrica con una cierta otros la función da otra métrica. Supongamos que tengo algo de espacio métrico $(X,d)$ y un continua, no la disminución de la función $f$ en los reales no negativos. Por otra parte, supongamos que que $f(x)=0$ fib $x=0$, e $f$ también satisface la desigualdad de triángulo en el que $f (x+y)\leq f(x)+f(y)$.

El uso de estas propiedades, no es difícil mostrar que $f\circ d$ es otra métrica en $X$, lo $(X,f\circ d)$ es también un espacio métrico.

Me doy cuenta de la (abierto) bolas dada por las métricas son de la forma $$ B_d(x,r)=\{y\X\a mediados d(x,y)\lt r\} $$ y $$ B_{f\circ d}(x,r)=\{y\X\mid (f\circ d)(x,y)\lt r\}, $$ así que parece que las topologías generado por la base de abrir bolas en cada caso probablemente sería el mismo. Me gustaría ver cómo se podría ir sobre la que muestra las topologías que se da por estas dos métricas son de hecho los mismos. Gracias por la comprensión.

Answer 1

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $f: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+$ una función como la que he descrito. Dado $r>0$ $x \in X$ queremos encontrar una $\varepsilon>0$ tal que $B_{f\circ d}(x,\varepsilon)\subset B_d(x,r)$. Set $\varepsilon=f(r)$ y tome $w \in B_{f\circ d}(x,\varepsilon)$ $f(d(x,w))<f(r)$ y desde $f$ es no decreciente debe ser el caso de que $d(x,w)<r$ y, por tanto,$w \in B_d(x,r)$.

Para demostrar que podemos encontrar $\varepsilon>0$ tal que $B_d(x,\varepsilon) \subset B_{f\circ d}(x,r)$ es un poco más complicado. Deje $y \in (0,r)$ y pick $\varepsilon \in f^{-1}(y)$. Supongamos $w \in B_d(x,\varepsilon)$ $d(x,w)<\varepsilon$ $f(d(x,w))\leq f(\epsilon)=y<r$ $w \in B_{f\circ d}(x,r)$ como se desee.

Creo que es interesante tener en cuenta que para conseguir las bolas a estar contenidos en cada uno de los otros que realmente no necesita los otros dos propiedades del triángulo de la desigualdad de la $f$. Pero que es necesaria en orden a garantizar la $f\circ d$ es una métrica.

Answer 2

Aquí es un Teorema de mi libro La Topología De La Pts. San cirilo y san Metodio de la Universidad, Skopje, 2002 (en macedonia) . La prueba consta de cinco filas.

Teorema. X es un conjunto con dos topologías de T1 y T2 , B1 es una base para la topología de T1 y B2 es una base para la topología de la T2 . Si para cada vitamina B1 B1 y cada punto x en B1 existe B2 B2 , de tal manera que x es de B2 y B2 es un subconjunto de a,B1, entonces T1 es un subconjunto de T2 .

Nikita Shekutkovski