Suponga que $G= \langle a \rangle$ es un grupo cíclico, y $H$ es un subgrupo de $G$. Suponga $H= \langle a^k \rangle$ donde $k$ es el menor entero positivo tal que $a^k \in H$. Tenga en cuenta que $G/H$ es cíclica, ya que $G$ es cíclico. Suponga que $[G:H]=t$. Demostrar que $t=k$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tom Oldfield
Puntos
7330
Hay un par de maneras de hacer esto. Una manera (si el grupo es finito) es mostrar directamente que $|H|=\frac{n}{k}$ donde $n = |G|$ y, a continuación, el uso del teorema de Lagrange: $|G|=[G:H]|H|$. (Usted puede demostrar que $|H|$ es el menor entero positivo $m$ tal que $(a^k)^m=e$ porque $H$ es cíclica, a continuación, utilizar esta deducir que $|H|=\frac{n}{k}$.)
Edit: posiblemente de una manera más fácil de hacer esto es utilizar el hecho de que $G/H$ es cíclica, por lo que debe tener un generador. Claramente $aH$ genera como $(aH)^i=a^iH$ por lo que el tamaño del grupo es simplemente el orden de $aH$. Pero este es el menor entero positivo $m$ tal que $a^mH=H$ es decir $a^m \in H$. Este es, por definición, $k$.
Otra manera de hacerlo es utilizar el hecho de $|G/H|=[G:H]$ como parecen dar a entender y, a continuación, calcular explícitamente lo $G/H$ es. En su comentario, usted identificar correctamente el cociente de grupo, pero si quieres hacerlo formalmente:
1) Identificar los posibles elementos de $G/H$: Observe que dado que todos los elementos en $G$ son de la forma $a^i$ para algunos entero $0\leq i\leq n$, con todos los cosets son de la forma $a^iH$.
2) Muestran que, cuando dos de estos elementos son los mismos: Usted puede hacer esto al decir que el $a^iH=a^jH$ es equivalente a $a^{i-j}\in H$. Por lo tanto $a^iH=a^jH$ fib $k | i-j$.
3)Finalmente, ahora puede decir que cualquiera de el (en la mayoría de las $n$) posible cosets de la parte 1, puede ser representado por uno de los cosets que usted describe en su comentario (la parte 2) y que todos estos son distintos (por la parte 2 de nuevo para tener correctamente identificados $G/H$, lo que claramente ha $k$ elementos.
