¿Determinar si $f(z)$ tiene un punto de ramificación donde no es analítica?

Question

Digamos que tienes una función $f(z)$, ¿cómo determinarías si el punto $z=z_0$ es un punto de rama de $f(z)$ (y su orden) dado que $f(z)$ no es analítica en este punto?

(Para referencia: esta pregunta (y los enlaces en la respuesta) Showing $1$ is not a branch point for $f(z) = z^2 da el caso donde $f(z)$ no es analítica en $z_0$)

Answer 1

$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}$Supongamos que $g:\Cpx \to \Cpx$ es holomorfa. De manera general, los puntos de ramificación de $f = g^{-1}$ corresponden a los puntos críticos de $g$: Si $g(w_{0}) = z_{0}$ y $g'(w_{0}) = 0$, entonces $f = g^{-1}$ tiene un punto de ramificación en $z_{0}$.

Por ejemplo, la función cuadrática $g(w) = w^{2}$ tiene un punto crítico en $w_{0} = 0$, por lo que la raíz cuadrada $f(z) = \sqrt{z}$ tiene un punto de ramificación en $0 = z_{0} = g(w_{0})$.

Con más detalle, si $g(w_{0}) = z_{0}$ y $g'(w_{0}) = 0$, entonces existe un entero único $n \geq 2$ y una función holomorfa única $h$ con $h(w_{0}) \neq 0$ (y por lo tanto no se anula en algún entorno de $w_{0}$) tal que $$ z = g(w) = z_{0} + (w - w_{0})^{n}\, h(w) $$ para todo $w$ en algún entorno de $w_{0}$. La función inversa (necesariamente multi-valuada) $f$ definida por $$ f(z) = w_{0} + \left[\frac{z - z_{0}}{h(w)}\right]^{1/n} $$ satisface $f(z_{0}) = w_{0}$ y $g\bigl(f(z)\bigr) = z$ para todo $z$ en algún entorno de $z_{0}$, y tiene un punto de ramificación de orden $n$ en $z_{0}$.

Por el contrario, si $g'(w_{0}) \neq 0$, el teorema de la función inversa garantiza que $g$ es localmente un biholomorfismo, es decir, tiene una inversa holomorfa (de una sola valor) en algún entorno de $z_{0} = g(w_{0})$.

Dado que todas estas consideraciones son locales, observaciones similares se mantienen para aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann arbitrarias.

Answer 2

Aquí están mis pasos para encontrar los puntos de rama de la función $f(z)$

1. Establece $w=f(z)$

2. Diferencia ambos lados con respecto a $w$:$$1=f'(z) \frac{dz}{dw}$$ $$\frac{dz}{dw}=\frac{1}{f'(z)}$$

3. Encuentra los valores de $z$ para los cuales lo anterior es $0$. Estos son nuestros puntos de rama.

   4. Establece $t=\frac{1}{z}$ y usa el método anterior para encontrar los puntos de rama de $f(t)$. Si $t=0$ es un punto de rama, entonces nuestra función original tiene un punto de rama en $\infty$.

Para encontrar el orden del punto de rama en $z=z_0$.

Método 1

Encuentra la primera derivada que no es 0, es decir, que $$\frac{d^n z}{dw^n}\ne0$$ y $$\frac{d^k z}{dw^k}=0 \forall k

Método 2

Sustituye $z=z_0+re^{i\theta}$ en la función original y ve físicamente cuántas veces debes girar $\theta$ para regresar al valor original. Si puedes dar $n+1$ vueltas, el orden es $n$.