La versión de esperanza Condicional

Question

Me gustaría probar el siguiente teorema.

Deje $(X,Y)$ ser una variable aleatoria con valores en $\mathbb{R}^2$. Supposte que $\mathcal{L}(X,Y)$ tiene una densidad de $f(.,.)$ con respecto a la medida de Lebesgue $\lambda^2$$\mathbb{R}^2$. Si $E[|X|]<\infty$ sostiene, a continuación, $$E[X|Y]=\frac{\int_\mathbb{R}xf(x,Y)dx}{\int_\mathbb{R}f(x,Y)dx}$$

Empecé como esto: Vamos a $A=Y^{-1}(B)$$B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Entonces $$ \int_A\frac{\int_\mathbb{R}xf(x,Y)dx}{\int_\mathbb{R}f(x,Y)dx}dP \\=\int_B\frac{\int_\mathbb{R}xf(x,y)dx}{\int_\mathbb{R}f(x,y)dx} P\circ Y^{-1}(dy) \\=\int_B(\frac{\int_\mathbb{R}xf(x,y)dx}{\int_\mathbb{R}f(x,y)dx}\int_\mathbb{R}f(x,y)dx)\ dy \\=\int_B\int_\mathbb{R}xf(x,y)dx\ dy $$ Pero yo no soy capaz de demostrar que el último término es igual a $E[X1_{Y^{-1}(B)}]$.

Answer 1

Continuando a partir de su última identidad, tenemos que \begin{align*} \int_B\int_{\mathbb{R}} xf(x, y) dx dy &= \iint_{\mathbb{R}^2}x 1_{B}(y) f(x, y) dx dy = E\left(X1_B(Y) \right). \end{align*} $$$$ Alternativamente, se nota que \begin{align*} \int_{\mathbb{R}} f(x, y) dx \end{align*} es la función de densidad marginal para $Y$. Entonces, para cualquier delimitada Borel medible de la función $g$, \begin{align*} E\left( X g(Y) \right) &=\iint_{\mathbb{R}^2}xg(y)f(x, y) dx dy\\ &=\int_{\mathbb{R}}g(y)dy \int_{\mathbb{R}}xf(x, y) dx\\ &=\int_{\mathbb{R}}\frac{\int_{\mathbb{R}}xf(x, y) dx}{\int_{\mathbb{R}} f(x, y) dx}g(y) \int_{\mathbb{R}} f(x, y) dx\, dy\\ &=E\left(\frac{\int_{\mathbb{R}}xf(x, Y) dx}{\int_{\mathbb{R}} f(x, Y) dx} g(Y)\right). \end{align*} Es decir, \begin{align*} E(X \mid Y) &=\frac{\int_{\mathbb{R}}xf(x, Y) dx}{\int_{\mathbb{R}} f(x, Y) dx} . \end{align*}