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Límites y colímites en la categoría de regímenes

Cuál es la categoría más pequeña que amplía la categoría de esquemas sobre un campo k que es:

  1. ¿Completa? ¿Cocompleto?

  2. ¿Admite un cogenerador? ¿Generador?

Reconozco que hay un cierto solapamiento con mis preguntas anteriores. Lo siento.

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Jeff Puntos 804

Si C es una categoría arbitraria, entonces la "categoría cocompleta más pequeña que contiene C " se suele denominar el cocompleción libre ˆC de C y se define para satisfacer la siguiente propiedad universal: Si D es una categoría cocompleta, entonces la categoría de funtores CD es naturalmente equivalente a la categoría de funtores cocontinuos ˆCD . Se puede construir como sigue: En primer lugar, considere la categoría cocompleta de presheaves sobre C es decir, los funtores CopSet . Según Yoneda, la subcategoría completa de funtores representables es equivalente a C . Ahora, toma ˆC para ser la clausura de esta subcategoría completa bajo colímites pequeños.

Por supuesto, esto puede aplicarse a la categoría de regímenes Sch pero no sé si ^Sch es de mucha utilidad en la geometría algebraica. En su lugar, uno busca subcategorías completas de ^Sch por ejemplo, de gavillas con respecto a alguna topología de Grothendieck sobre Sch (por ejemplo, Zariski, étale, fpqc, Nisnevich). Un espacio algebraico es una gavilla étale sobre Sch que tiene un morfismo suryente étale de un (functor representado por) esquema (y alguna condición en la diagonal). A diferencia de la categoría de esquemas, la categoría de espacios algebraicos es cerrada bajo cocientes por relaciones de equivalencia étale.

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¿Podemos definir el grupo fundamental etale de un espacio algebraico o de un elemento de ^Sch ?

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No lo sé, pero probablemente. ¿No es esta una pregunta completamente diferente?

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