Límites y colímites en la categoría de regímenes

Question

Cuál es la categoría más pequeña que amplía la categoría de esquemas sobre un campo $k$ que es:

1. ¿Completa? ¿Cocompleto?

2. ¿Admite un cogenerador? ¿Generador?

Reconozco que hay un cierto solapamiento con mis preguntas anteriores. Lo siento.

Answer 1

Si $C$ es una categoría arbitraria, entonces la "categoría cocompleta más pequeña que contiene $C$ " se suele denominar el cocompleción libre $\widehat{C}$ de $C$ y se define para satisfacer la siguiente propiedad universal: Si $D$ es una categoría cocompleta, entonces la categoría de funtores $C \to D$ es naturalmente equivalente a la categoría de funtores cocontinuos $\widehat{C} \to D$ . Se puede construir como sigue: En primer lugar, considere la categoría cocompleta de presheaves sobre $C$ es decir, los funtores $C^{op} \to \mathsf{Set}$ . Según Yoneda, la subcategoría completa de funtores representables es equivalente a $C$ . Ahora, toma $\widehat{C}$ para ser la clausura de esta subcategoría completa bajo colímites pequeños.

Por supuesto, esto puede aplicarse a la categoría de regímenes $\mathsf{Sch}$ pero no sé si $\widehat{\mathsf{Sch}}$ es de mucha utilidad en la geometría algebraica. En su lugar, uno busca subcategorías completas de $\widehat{\mathsf{Sch}}$ por ejemplo, de gavillas con respecto a alguna topología de Grothendieck sobre $\mathsf{Sch}$ (por ejemplo, Zariski, étale, fpqc, Nisnevich). Un espacio algebraico es una gavilla étale sobre $\mathsf{Sch}$ que tiene un morfismo suryente étale de un (functor representado por) esquema (y alguna condición en la diagonal). A diferencia de la categoría de esquemas, la categoría de espacios algebraicos es cerrada bajo cocientes por relaciones de equivalencia étale.