PDE: principio del Máximo + Periódico de las Condiciones de Contorno = Constante?

Question

Estoy trabajando en una tarea en la PDE, y estoy obligado a utilizar el principio del máximo para demostrar que cuando se $\Delta u(x)=0$ y periódico de las condiciones de contorno se aplican, $u(x)$ es una constante.

La formulación EXACTA de la pregunta es: "Vamos a u ser armónico con el periódico de las condiciones de contorno. Utilizar el principio del máximo para demostrar que u es constante."

El principio del máximo, como está escrito en mi libro de texto, viene en tres partes:

1) Fuerte max: Vamos a $u$ ser armónico en $\Omega$. Si existe $x_0$ $\epsilon$ $\Omega$ con $u(x_0)=\sup(u(x):x$ $\epsilon$ $\Omega)$ o $u(x_0)=\inf(u(x):x$ $\epsilon$ $\Omega)$, a continuación, $u$ es constante en $\Omega$.

Como alternativa, el uso de la pelota significa propiedad, $$u(x)=constant$$ iff $$u(x_o)=\frac{1}{\omega_d r^d}\int_{B(x_o,r)}u(x)dx = sup(u(x)),x\in \Omega$$

Donde B es la bola: $$B(x,r):={y\in R^d:|x-y|\le r}$$

2) Débil max: Vamos a $\Omega$ ser delimitada y $u$ $\epsilon$ $C^0(\Omega \cup \partial\Omega)$ ser armónico. A continuación, para todos $x$ $\epsilon$ $\Omega$, $\min(u(y):y$ $\epsilon$ $\partial\Omega) \le u(x)\le \max(u(y):y$ $\epsilon$ $\partial\Omega)$

3) de Traslación Corolario: Vamos a $x_0$ $\epsilon$ $\Omega\subset R^d(d\ge 2),$ $u:\Omega\backslash {x_0}\rightarrow R$ ser armónico y acotada. Entonces u puede ser extendido como una función armónica en todos los de $\Omega$; es decir, existe una función armónica $\tilde{u}:\Omega\rightarrow R$, que coincide con la u en $\Omega\backslash {x_0}$

Periódico de las condiciones de contorno se define de la siguiente manera:

$$\Omega=(0,L_1)\times ...\times (0,L_n)\subset R^n$$ y, por $$u:\bar{\Omega}\rightarrow R$$ que: $$u(x_1,...,x_{i-1},L_i,x_{i+1},...,x_n)=u(x_1,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n)$$ para todos los $$x=(x_1,...x_n)\in\Omega,i=1,...,n$$

Hasta el momento, he escrito el siguiente "true" (lo mejor que puedo decir) declaraciones...pero no puedo ver por qué se requieren $u(x)$ constante:

i) $\Delta u(x)=0$ fib $u(x_0)=\frac{1}{\omega_d r^r}\int_{B(x_0,r)}u(x)dx$

ii) $u(x)=constant$ fib $u(x_0)=\sup_{\Omega}(u(x))$

iii) si $\frac{1}{\omega_d r^d}\int_{B(x_0,r)}u(x)dx=\sup_{\Omega}(u(x))$ $u(x)=constant$

iv) periódicos de las condiciones de contorno, (y mediante el dominio de la onu-extended $\Omega$ anteriormente) $$u(x_0)=\frac{1}{\omega_d r^d}\int_{B(x_0 + nL,r)}u(x+nL)dx$ $

Donde $n\in Z^d$, e $nL=(n_1*L_1,...,n_d*L_d)$

**Nota: $\omega_d$ es el volumen de la unidad de la esfera en $d$-dimensiones

Answer 1

A mi modo de ver, el libro te pide demostrar la siguiente declaración:

Supongamos $u$ es un armónico de la función en $\mathbb R^d$, la satisfacción de $u(x+z) = u(x)$ todos los $x\in \mathbb R^d$$z\in \mathbb Z^d$. A continuación, $u$ es constante.

Esta afirmación es cierta. El 'periódico de la condición de límite' parece supone implícitamente que $u$ puede ser prorrogado periódicamente a $\mathbb R^d$, la preservación de una cierta cantidad de regularidad. Y no sólo la continuidad, sino tales que la función extendida todavía es $C^2$, me imagino.

La función de $u(x,y) = (e^x + e^{-x})\sin(y)$ $\Omega = (-1,1)\times (0,2\pi)$ admite una extensión continua a $\mathbb R^2$ y es armónica en $\Omega$, pero no es constante. Por lo que la extensión debe ser lo suficientemente suave como para la instrucción de mantener. Aquí es donde mi conjetura sobre el significado preciso de los periódicos de las condiciones de contorno' viene (también esto podría describir la situación de un toro).