Demuestra que $c = \max(a, b)$ en $\mathbb{Z}_2$ no es una operación binaria

Question

Dejemos que $*: \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2$ se defina como $[a] * [b] = [c]$ , donde $c = \max\{a, b\}$ para todos $[a], [b] \in \mathbb{Z}_2$ . Demostrar que $*$ no es una operación binaria sobre $\mathbb{Z}_2$ . Pista: ¿está bien definido?

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No quiero que alguien me resuelva el problema, sino que simplemente me ayude a aclarar mi malentendido o me indique la dirección correcta.

No veo cómo $*$ no es una operación binaria, ni tampoco está bien definida.

Una operación binaria es una función sobre un conjunto $S$ que asocia cada par ordenado de elementos en $S$ a otro elemento de $S$ .

Aquí, $*$ pares ordenados de elementos asociados $\mathbb{Z}_2$ a otro elemento $\mathbb{Z}_2$ a través de la función max. Tiene cuatro entradas posibles:

$$ \begin{align} (0, 0) & \mapsto 0 \\ (0, 1) & \mapsto 1 \\ (1, 0) & \mapsto 1 \\ (1, 1) & \mapsto 1 \end{align} $$

Así que asocia cada entrada única a una salida, y cumple con la definición de función. Cada entrada posible devuelve una salida que está en $S$ ( $\mathbb{Z}_2$ ).

¿Cómo es que no está bien definido?

Answer 1

La definición de $[a]\ast[b]$ se define mediante representantes de las clases de congruencia $[a],[b]$ . Para que esté bien definida, debe funcionar igual en todos los pares de representantes de $[a]$ y $[b]$ . Por ejemplo, debe satisfacer $[0]\ast[1]=[2]\ast[1]$ desde $[0]=[2]$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $[1]=[3]$ . Pero tenemos $[2]*[1]=[\max\{2,1\}]=[2]=[0]$ mais $[2]*[3]=[\max\{2,3\}]=[3]=[1]$ Así que si usted opera $[2]$ con $[1]$ y $[2]$ con $[3]$ se obtienen dos elementos diferentes, por lo que esta operación no está bien definida.