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Demuestra que c=max en \mathbb{Z}_2 no es una operación binaria

Dejemos que *: \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 se defina como [a] * [b] = [c] , donde c = \max\{a, b\} para todos [a], [b] \in \mathbb{Z}_2 . Demostrar que * no es una operación binaria sobre \mathbb{Z}_2 . Pista: ¿está bien definido?

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No quiero que alguien me resuelva el problema, sino que simplemente me ayude a aclarar mi malentendido o me indique la dirección correcta.

No veo cómo * no es una operación binaria, ni tampoco está bien definida.

Una operación binaria es una función sobre un conjunto S que asocia cada par ordenado de elementos en S a otro elemento de S .

Aquí, * pares ordenados de elementos asociados \mathbb{Z}_2 a otro elemento \mathbb{Z}_2 a través de la función max. Tiene cuatro entradas posibles:

\begin{align} (0, 0) & \mapsto 0 \\ (0, 1) & \mapsto 1 \\ (1, 0) & \mapsto 1 \\ (1, 1) & \mapsto 1 \end{align}

Así que asocia cada entrada única a una salida, y cumple con la definición de función. Cada entrada posible devuelve una salida que está en S ( \mathbb{Z}_2 ).

¿Cómo es que no está bien definido?

2voto

Monkey Wrench Puntos 1

La definición de [a]\ast[b] se define mediante representantes de las clases de congruencia [a],[b] . Para que esté bien definida, debe funcionar igual en todos los pares de representantes de [a] y [b] . Por ejemplo, debe satisfacer [0]\ast[1]=[2]\ast[1] desde [0]=[2] .

-1voto

Tenga en cuenta que [1]=[3] . Pero tenemos [2]*[1]=[\max\{2,1\}]=[2]=[0] mais [2]*[3]=[\max\{2,3\}]=[3]=[1] Así que si usted opera [2] con [1] y [2] con [3] se obtienen dos elementos diferentes, por lo que esta operación no está bien definida.

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