Condiciones para la universal mapa para profinite grupo surjective?

Question

Deje $G$ ser un profinite grupo, escrita como la proyectiva límite de $\operatorname{lim}(G_i)$ de un diagrama de grupos finitos $G_i$.

Deje $H$ ser un grupo que está equipado con mapas de $f_i : H \to G_i$, compatible con el diagrama. Esto induce a un universal mapa de $u : H \to G$.

¿Cuáles son las condiciones en $H$ o $f_i$ que garanticen el mapa de $u$ es surjective?

En particular, no estoy seguro de si $u$ es surjective cuando el $f_i$ son surjective. Bajo este supuesto, que sin duda puede encontrar para cada segmento finito de un elemento de $G$---de visualización de los elementos de $G$ como secuencias de elementos de cada una de las $G_i$ cuales son enviados a cada uno de los otros a través de los mapas en el diagrama---un elemento de $H$, el cual es enviado por $u$. Pero parece que uno podría necesitar extra supuestos para encontrar preimages para un elemento general de la $G$.

Answer 1

Cada grupo $H$ tiene un profinite de finalización de la $\widehat{H}$, es decir, la profinite de grupo dada por la cofiltered límite sobre todos finito cocientes $H_i$$H$. Por construcción, todos los mapas de $f_i : H \to H_i$ son surjective, pero el mapa correspondiente $H \to \widehat{H}$ casi nunca surjective.

Por ejemplo, cuando $H = \mathbb{Z}$, $\widehat{H}$ es el profinite enteros

$$\widehat{\mathbb{Z}} \cong \prod_p \mathbb{Z}_p$$

donde las gamas de productos sobre todos los primos y las $\mathbb{Z}_p$ indica el $p$-ádico enteros. Este es un gigantesco grupo, mucho más grande que $\mathbb{Z}$, y contiene todo tipo de extraños elementos tales como $1! + 2! + 3! + 4! + \dots$ (que converge con respecto a la topología).